Решение задач
на тонкие линзы
А.ЧЕРНОУЦАН
Д
ЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ТОНКИМИ ЛИНЗАМИ НАДО
знать совсем немного. Напомним их основные свойства.
1) Характер линзы зависит от радиусов образующих ее
сферических поверхностей и от показателя преломления
материала линзы относительно окружающей среды
n n n = л ср . При n > 1 двояковыпуклая и плосковыпуклая
линзы – собирающие, двояковогнутая и плосковогнутая
линзы – рассеивающие; при n < 1 – наоборот. Эти утверждения следуют из формулы для фокусного расстояния F:
( )
1 2
1 1 1
n 1
F R R
Ê ˆ
= - + Á ˜ Ë ¯ ,
где радиус выпуклой поверхности считается положительным, а радиус вогнутой – отрицательным. Если F положительно, то линза собирающая, в противном случае – рассеивающая. Эту формулу знать полезно, но необязательно.
Пример 1 (ЕГЭ). Из очень тонких одинаковых сферических стеклянных сегментов изготовлены линзы, представленные на рисунке 1. Если показатель преломления глицерина больше, чем показатель преломления воды, то собирающая линза представлена на рисунке: 1); 2); 3); 4).
(ответ: 4).)
2) Для решения задач полезно знать ход основных лучей.
а) Лучи, идущие через оптический центр линзы, не испытывают отклонения.
б) Лучи, падающие параллельно главной оптической оси
(рис.2), сходятся в фокусе, лежащем за линзой – в случае
собирающей линзы, или расходятся из фокуса, лежащего
перед линзой – в случае рассеивающей линзы.
в) Обратное утверждение линзу луч пойдет
параллельно ее главной оптической оси, если линия его
падения проходит через фокус собирающей линзы, лежащий
перед линзой, или через фокус рассеивающей линзы, лежащий за линзой (рис.3).
Пример 2. На собирающую линзу с фокусным расстоянием F1
= 17 см падает пучок света, параллельный ее главной
оптической оси. На каком расстоянии от этой линзы
нужно поставить рассеивающую линзу с фокусным расстоянием
F2
= 0,09 м, чтобы
пучок, пройдя обе линзы, остался параллельным?
(ответ: 1 2 l F F = - =
= 8 см; см. рис.4.)
г) Лучи, идущие параллельно друг другу, но не параллельно главной оптической оси (рис.5), собираются в точке
фокальной плоскости, расположенной за линзой (собирающая линза), или расходятся из точки фокальной плоскости,
расположенной перед линзой (рассеивающая линза).
Пример 3. Постройте ход произвольного луча после
прохождения собирающей (рассеивающей) линзы.
(ответ: см. рис.6; пунктиром показан вс
луч.)
3)Формула тонкой
линзы. Точечным источником обычно называют светящуюся
точку, испускающую
световые лучи в сторону линзы. Более общее определение: источник – это точка
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
пересечения лучей, падающих на линзу (такое определение
позволяет вводить в рассмотрение мнимые источники; см.
рис.7). Изображением точечного источника называют точку пересечения лучей линзу. Расстояния от
источника до линзы d, от изображения до линзы f и фокусное
расстояние F связаны соотношением
1 1 1 D
d f F
+ = = , (1)
где D – оптическая сила линзы, выражается в диоптриях,
1 дптр = 1/м. При применении формулы тонкой линзы (1)
надо пользоваться следующими правилами знаков:
а) F и D положительны для собирающей линзы (действительный фокус) и отрицательны для рассеивающей линзы
(мнимый фокус);
б) f > 0 для действительного изображения, f < 0 для
мнимого изображения.
в) d > 0 для действительного источника, d < 0 для мнимого
источника.
Замечание. При решении задач удобнее считать f, d и F
положительными, а знаки учитывать в явном виде. Тогда
формула (1) принимает вид
± ± = ± = 1 1 1 D
d f F (2)
(оптическая сила D может быть как положительной, так и
отрицательной).
Пример 4. На линзу падает сходящийся пучок лучей.
После прохождения через линзу лучи пересекаются в точке,
лежащей на расстоянии 15 см от линзы. Если линзу убрать, то точка пересечения лучей переместится на 5 см
ближе к линзе. Определите фокусное расстояние линзы.
В этом случае формула (2) принимает вид
1 1 1
d f F
- + = ,
где d = 10 см (мнимый источник), f = 15 см (действительное
изображение). Получаем F = –30 см. Поскольку тип линзы
не был задан, то правую часть формулы мы написали с
плюсом, а по знаку ответа установили, что линза рассеивающая.
4) Увеличение линзы. Увеличением линзы (точнее –
линейным увеличением, поскольку есть еще и угловое)
называется отношение линейных размеров изображения к
линейным размерам предмета. Для поперечного увеличения,
т.е. для размеров в направлении, перпендикулярном главной
оптической оси, верна формула
H f
h d
Γ = = , (3)
которая следует из подобия соответствующих треугольников
(рис.8). Отметим, что если пользоваться формулой линзы в
форме (1), то формулу
(3) надо писать с модулями, что неудобно, или
вводить отрицательное Γ
для случая прямого (не
перевернутого) изображения, т.е. когда источник и изображение находятся по одну сторону от
линзы (например, действительный источник и мнимое изображение). Такой подход возможен, но он слишком формален и чреват ошибками.
Поэтому мы будем пользоваться формулами (2), (3).
Состояние определенной массы любого вещества можно описать с трех параметров: давления
p
, объема
V
и температуры
T
. Эти параметры связаны между собой. Их взаимосвязь описывается уравнением состояния, которое в общем случае имеет вид:
F
(
p
,
V
,
T
)
=
0.
Конкретный вид уравнения зависит от свойств вещества. Например, разреженный газ при достаточно высокой температуре хорошо описывается моделью идеального газа. Уравнением состояния для него является известное уравнение Клапейрона (
1799
−
1864
), предложенное в
1834
году:
p
V
=
m
M
R
T
.
Здесь
m
− масса газа,
M
− молярная масса (т.е. масса одного моля данного газа),
R
− универсальная газовая постоянная. Для одного моля газа это уравнение принимает следующий вид:
p
V
=
R
T
.
Проведенные позднее эксперименты выявили отклонение в поведении реальных газов от законов идеального газа. Эти результаты были обобщены голландским физиком Яном Дидериком Ван-дер-Ваальсом (
1837
−
1923
), который в
1873
году предложил более точное уравнение состояния реального газа. Оно называется уравнением Ван-дер-Ваальса и в расчете на один моль записывается в виде
(
p
+
a
V
2
)
(
V
−
b
)
=
R
T
.
Данное уравнение учитывает силы притяжения и отталкивания, действующие между молекулами. Силы притяжения учитываются благодаря пристеночному эффекту. Действительно, для частиц, находящихся во внутренней области, силы притяжения со стороны других молекул в среднем скомпенсированы. Однако для частиц вблизи стенок сосуда возникает нескомпенсированная сила притяжения
f
,
направленная внутрь сосуда. Эта сила, с одной стороны, пропорциональна концентрации частиц
n
в сосуде, а с другой стороны − пропорциональна концентрации частиц в пристеночном слое. В результате получаем:
f
∼
n
2
∼
1
V
2
,
где
n
− концентрация молекул в сосуде,
V
− объем
1
моля газа.
Рассмотренный эффект притяжения молекул пристеночного слоя приводит к уменьшению давления на стенки сосуда. При формальном переходе от уравнения Клапейрона к уравнению Ван-дер-Ваальса это соответствует замене
p
→
p
+
a
V
2
,
где
a
− коэффициент, зависящий от конкретного газа и размеров сосуда.
Силы отталкивания между молекулами в модели Ван-дер-Ваальса учитываются очень просто: предполагается, что молекулы имеют форму шара радиуса
r
и не могут приблизиться друг к другу на расстояние между центрами, меньшее чем
2
r
.
Можно считать, что вокруг одной из двух молекул существует "запрещенный" (исключенный) объем (рисунок
1
), равный
4
3
π
(
2
r
)
3
=
8
⋅
4
3
π
r
3
.
Следовательно, в расчете на одну молекулу исключенный объем равен
b
0
=
4
⋅
4
3
π
r
3
=
4
V
0
,
где
V
0
− объем одной молекулы.
В результате , если в уравнении Клапейрона объем пространства, доступного для движения молекул, был равен
V
,
то теперь он становится равным
V
−
N
A
b
0
=
V
−
b
,
где
N
A
− число Авогадро (равное числу молекул в одном моле газа),
b
− исключенный объем, обусловленный отталкиванием молекул.
Объяснение: