J ∆ω/∆t = FR – изменение момента импульса равно моменту силы,
mR²/2 [ω–0]/t = FR ;
t = mRω/[2F] ≈ 1 * 0.1 * 5 / 12 ≈ 1/24 ≈ 42 мс ;
2.
Положение равновесия – это когда горизонтальный стержень поворачивается в вертикальное положение (на 90°). В этот момент его максимальная линейная скорость будет у самой удалённой от шарнира точки, т.е. на расстоянии L=60 см от шарнира.
Центр масс (середина) стержня при повороте на 90° смещается вниз на полдлины стержня. Из закона сохранения энергии:
M, Vo и V – масса и скорости ракетки до и после удара в ЛСО, для определённости они направлены вправо;
m, vo и v – масса и скорости мячика до и после удара в ЛСО, для определённости: мячик всегда летит от ракетки вправо, вначале небыстро, а потом – быстрее;
Для учёта встречного к ракетке движения мячика, в качестве альтернативного условия – будем использовать знак минус перед vo.
u – скорость центра масс системы, которая не меняется, она, очевидно, направлена вправо (масса и скорость ракетки больше массы и скорости мячика);
V1 и V2 – скорости ракетки до и после удара в СЦМ, для определённости: сначала ракетка летит вправо на мячик, а после удара – влево от мячика;
v1 и v2 – скорости мячика до и после удара в СЦМ, для определённости: сначала мячик летит влево на ракетку, а после удара – вправо от ракетки;
Общий импульс системы: MVo + mvo ;
Центр масс движется со скоростью u, для которой из соображений общего импульса верно, что: (M+m)u = MVo + mvo ;
u = [ MVo + mvo ]/[M+m] ;
При переходах из ЛСО в СЦМ, получаем:
V1 = Vo – u = Vo – [ MVo + mvo ]/[M+m] = m(Vo–vo)/[M+m] ;
До удара по закону сохранения импульса в СЦМ: MV1 = mv1 ;
v1 = [M/m] V1 ;
После реального удара с частичной потерей энергии:
MV2 = mv2 ;
v2 = [M/m] V2 ;
Т.е.: v2/v1 = V2/V1 = β , или проще говоря, обе скорости уменьшатся одинаково, с некоторым β-коэффициентом ( β² –коэффициент потери энергии ) :
0 < β < 1 ;
В СЦМ после абсолютно упругого удара скорости просто бы развернулись (считаем удар лобовым), сохранившись по модулю, так чтобы импульс по прежнему был бы равен нолю. Но в данном случае, скорости и ракетки и мячика уменьшатся:
V2 = βV1 ;
V = u–V2 = u–βV1 ;
Потеря энергии ракетки:
∆Eк = [M/2] ( Vo² – V² ) = [M/2] ( Vo² – ( u – βV1 )² ) – квадратичная функция относительно β. Найдём экстремум:
Так что вариант, когда мячик сначала летит влево на ракетку, а потом после удара вправо от ракетки – тоже невозможен со значением в потере энергии в 0.5 Дж ! :–)
У нелепой задачи нет нормального решения :–)
*** отметьте это решение лучшим, чтобы сохранялась последовательность в рассуждениях.
Закон Ньютона во вращательной форме:
J ∆ω/∆t = FR – изменение момента импульса равно моменту силы,
mR²/2 [ω–0]/t = FR ;
t = mRω/[2F] ≈ 1 * 0.1 * 5 / 12 ≈ 1/24 ≈ 42 мс ;
2.
Положение равновесия – это когда горизонтальный стержень поворачивается в вертикальное положение (на 90°). В этот момент его максимальная линейная скорость будет у самой удалённой от шарнира точки, т.е. на расстоянии L=60 см от шарнира.
Центр масс (середина) стержня при повороте на 90° смещается вниз на полдлины стержня. Из закона сохранения энергии:
mgL/2 = Jω²/2 ;
mgL = mL²ω²/3 ;
ω² = 3g/L ;
ω = √[3g/L] ;
Vmax = Lω = L√[3g/L] = √[3Lg] ≈ √[ 3 * 0.6 * 9.8 ] ≈ √[ 3 * 12 * 0.49 ] ≈ 4.2 м/с .