1. Математический маятник совершает затухающие гармонические колебания с логарифмическим декрементом затухания 0,2.
Во сколько раз уменьшится скорость маятника при прохождении
положения равновесия за время 2T?
2. Уравнение колебаний материальной точки массой
1,6·10–2 кг имеет вид x = 0,1sin(πt/8 –π/4) (м). Определить максимальное значение вынуждающей силы, действующей на точку. Коэффициент затухания равен 1/(2π) рад/c.
ζ = 1/2π * √(ln(A₀/A)² + (2π/T)²)
Где ζ - логарифмический декремент затухания, A₀ - амплитуда начальных колебаний, A - амплитуда колебаний через время T, T - период колебаний.
В данном случае у нас логарифмический декремент затухания равен 0,2, а нам нужно найти, во сколько раз уменьшится скорость маятника при прохождении положения равновесия за время 2T.
Мы можем использовать следующую формулу для нахождения скорости маятника через время T:
v = A₀ * ω * e^(-βt) * cos(ωt + δ)
Где v - скорость маятника, A₀ - амплитуда начальных колебаний, ω - циклическая частота (ω = 2π/T), β - коэффициент затухания, t - время, δ - начальная фаза.
При прохождении положения равновесия через время 2T, маятник совершает половину периода колебаний, поэтому время будет t = 2T.
Теперь мы можем пошагово решить задачу:
Шаг 1: Найдем амплитуду колебаний через время T
Используем формулу для логарифмического декремента затухания:
0,2 = 1/2π * √(ln(A₀/A)² + (2π/T)²)
Учитывая, что T = 2T/2, упростим выражение:
0,2 = 1/2π * √(ln(A₀/A)² + (π/T)²)
Теперь возведем все в квадрат:
0,04 = (ln(A₀/A)² + (π/T)²) / (4π²)
0,04 * 4π² = ln(A₀/A)² + (π/T)²
0,16π² = ln(A₀/A)² + (π/T)²
Теперь выразим отношение амплитуд:
ln(A₀/A)² = 0,16π² - (π/T)²
ln(A₀/A) = √(0,16π² - (π/T)²)
A₀/A = e^(√(0,16π² - (π/T)²))
Шаг 2: Найдем скорость маятника при прохождении положения равновесия через время 2T
Используем формулу для скорости маятника:
v = A₀ * ω * e^(-βt) * cos(ωt + δ)
Подставим значения:
v = A₀ * ω * e^(-β(2T)) * cos(ω(2T) + δ)
Учитывая, что ω = 2π/T и t = 2T, упростим выражение:
v = A₀ * (2π/T) * e^(-β(2T)) * cos(2π)
Т.к. cos(2π) = 1, то можем сократить это умножение:
v = A₀ * (2π/T) * e^(-β(2T))
Теперь мы можем выразить новую скорость маятника через отношение амплитуд:
v' = A * (2π/T) * e^(-β(2T))
Шаг 3: Найдем во сколько раз уменьшится скорость маятника
Для этого нужно найти отношение старой (v) и новой (v') скорости маятника:
v/v' = (A₀ * ω * e^(-βt) * cos(ωt + δ)) / (A * (2π/T) * e^(-β(2T)))
Разделим числитель и знаменатель на A₀ * (2π/T):
v/v' = (ω * e^(-βt) * cos(ωt + δ)) / ((2π/T) * e^(-β(2T)))
Теперь подставим значения:
v/v' = (e^(-βt) * cos(ωt + δ)) / (e^(-β(2T)))
Т.к. t = 2T, то можно сократить экспоненты, и мы получим:
v/v' = (cos(ωt + δ)) / (e^(-β(2T)))
v/v' = (cos(2ωT + δ)) / (e^(-β(2T)))
Теперь у нас есть ответ для первого вопроса: скорость маятника уменьшится в разы, равные (cos(2ωT + δ)) / (e^(-β(2T))).
2. Для решения второго вопроса нам понадобится формула для вынуждающей силы:
F = m * x'' + 2βm * x' + k * x
Где F - вынуждающая сила, m - масса материальной точки, x'' - вторая производная по времени от координаты точки, β - коэффициент затухания, x' - первая производная по времени от координаты точки, k - жесткость пружины, x - координата точки.
Преобразуем уравнение колебаний в эту форму:
m * x'' + 2βm * x' + k * x = 0,1sin(πt/8 –π/4)
Теперь мы можем найти вынуждающую силу:
F = 0,1sin(πt/8 –π/4)
Теперь находим максимальное значение вынуждающей силы:
F_max = max(0,1sin(πt/8 –π/4))
Теперь мы можем подставить значение максимальной силы в уравнение. Но для этого нам нужно узнать момент времени, когда сила будет максимальной. Для этого нам необходимо решить уравнение вида:
πt/8 –π/4 = kπ, где k - целое число.
Мы приводим уравнение к виду:
πt/8 = (k + 1/4)π
t/8 = (k + 1/4)
t = 8(k + 1/4)
Теперь мы можем найти максимальное значение вынуждающей силы, подставив это время в уравнение:
F_max = 0,1sin(π(8(k + 1/4))/8 –π/4)
Теперь мы можем упростить это выражение и получить максимальное значение вынуждающей силы.