Question

Покажите, что электромагнитное поле, выраженное уравнениями Ex=Ey=0; Ez=cos(y-ct); Bx= cos(y-ct); By=Bz=0 удовлетворяет уравнения Максвелла в пустом пространстве.

Answer 1

Рассмотрим уравнения Максвелла в дифференциальной форме, нам понадобятся 3 и 4 уравнения:

$\nabla \times E=-\frac{1}{c} \frac{\partial B}{\partial t}$

$\nabla \times H=\frac{4\pi }{c} j+\frac{1}{c} \frac{\partial D}{\partial t}$

Найдем ротор вектора напряженности по известным его компонентам:

$\nabla \times E=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\\frac{\partial }{\partial _x} &\frac{\partial }{\partial _y}&\frac{\partial }{\partial _z}\\E_x&E_y&E_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\\frac{\partial }{\partial _x} &\frac{\partial }{\partial _y}&\frac{\partial }{\partial _z}\\0&0&cos(y-ct)\end{array}\right] =i*-sin(y-ct)$

Найдем производную магнитной индукции по времени:

$\frac{\partial B}{\partial t} =c*sin(y-ct)$

Действительно, легко видеть что они удовлетворяют третьему уравнению.

Теперь найдем ротор вектора напряженности магнитного поля, учитывая что $H=\frac{B}{\mu _0}$ и $D=\epsilon_0 E$

$\nabla\times H=k*-\frac{1}{\mu_0} sin(y-ct)$

Производная электрической индукции по времени:

$\frac{\partial D}{\partial t}=c \epsilon_0 sin(y-ct)$

Но так как $\frac{1}{\mu_0}=c^2\epsilon_0$ ротор напряженности магнитного поля также совпадает с производной электрической индукции по времени, деленной на скорость света (для электромагнитной волны плотность тока j считаем нулевой, так как нет среды проводимости).