Question

Груз связан с кольцом идеальной нитью, переброшенной через блок. Кольцо скользит с постоянной скоростью V по горизонтальной спице, расположенной на h ниже блока (см. рис.). Найти ускорение груза в момент, когда угол между наклонной частью нити и спицей равен α.

Answer 1

$\frac{v^2sin^3\alpha }{h}$

Объяснение:

Очевидно, что нить и груз движутся со скоростью, равной проекции скорости кольца на эту нить

$v'_1=vcos\alpha$

Тогда, через малый промежуток времени $\Delta t$

$v'_2=vcos(\alpha -\Delta \alpha )$

Раскроем косинус разности, учитывая что $\Delta \alpha$ малое

$cos(\alpha -\Delta \alpha )=cos\alpha cos \Delta \alpha +sin\alpha sin\Delta \alpha$

$cos\Delta \alpha \approx1$

$sin\Delta \alpha \approx\Delta \alpha$

$v'_2=v(cos\alpha +\Delta \alpha sin\alpha )$

Изменение скорости нити

$\Delta v=v'_2-v'_1=vcos\alpha +v\Delta \alpha sin\alpha -vcos\alpha =v\Delta\alpha sin \alpha$

Теперь свяжем $\Delta \alpha$ и $\Delta t$, проще всего это сделать, рассмотрев $\Delta \alpha$ как центральный угол некоторой малой дуги окружности с радиусом, равным первоначальной длине нити

$\frac{h}{sin\alpha } \Delta \alpha =v\Delta t sin\alpha$

$\Delta \alpha =\frac{v\Delta tsin^2\alpha }{h}$

Таким образом

$\Delta v=\frac{v^2sin^3\alpha \Delta t}{h}$

Но ускорение, по определению, есть отношение малых изменений скорости и времени

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v^2sin^3\alpha }{h}$.