Question

Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника массой 10 г имеет вид x=10cos(10πt+π/4)см. Определите: 1)период колебаний;2) циклическую частоту колебаний; 3) частоту колебаний;4) жесткость пружины;5) скорость маятника в момент времени t=T/4; 6) максимальную скорость маятника; 7) ускорение маятника в момент времени t=T/4; 8) максимальное ускорение маятника; 9) потенциальную энергию маятника в момент времени t=T/4; 10) максимальную потенциальную энергию маятника; 11) кинетическую энергию маятника в момент времени t=T/4; 12) максимальную кинетическую энергию маятника; 13) полную энергию маятника

Answer 1

1) Циклическая частота колебаний ω=10π рад/с

Период:

$\displaystyle T=\frac{2\pi }{\omega}=\frac{2\pi }{10\pi } =0.2$ с

2) 10π рад/с

3) Частота колебаний:

$\displaystyle \nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.2}=5$ Гц

4) Жесткость пружины можно найти из формулы для периода колебаний пружинного маятника:

$\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k} } = k=\frac{4\pi ^2m}{T^2} = \frac{4*3.14^2*0.01}{0.2^2}=9.87$ Н/м

5) Скорость найдем как первую производную координаты по времени:

$\displaystyle v(t)=\frac{d}{dt}x(t)=-100\pi sin(10\pi t+\frac{\pi }{4} )$ см/с

в указанный момент времени:

$\displaystyle v(0.05)=-100\pi sin(10\pi *0.05+\frac{\pi }{4} )=-222$ см/с

6) Максимальная скорость равна 100π см/с

7) Ускорение найдем как первую производную скорости по времени:

$\displaystyle a(t)=\frac{d}{dt}v(t)=-1000\pi^2 cos(10\pi t+\frac{\pi }{4} )$ см/с²

В указанный момент времени:

$\displaystyle a(0.05)=-1000\pi^2 cos(10\pi *0.05+\frac{\pi }{4} )=6979$ см/с²

8) Максимальное ускорение маятника 1000π² см/с²

9) Найдем смещение маятника в этот момент:

$\displaystyle x(0.05)=10*cos(10\pi *0.05+\frac{\pi }{4} )=-7.07$ см

Потенциальная энергия:

$\displaystyle E_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{9.87*0.0707^2}{2}=0.025$ Дж

10) Учтем, что амплитуда колебаний 0,1 м:

$\displaystyle E_p_0=\frac{9.87*0.1^2}{2}=0.05$ Дж

11) По закону сохранения энергии:

$\displaystyle E_k(T/4)=E_{p0}-E_p=0.05-0.025=0.025$ Дж

12) Максимальная кинетическая энергия равна максимальной потенциальной, т.е 0,05 Дж

13) Полная также равна 0,05 Дж.