Question

Материальная точка участвует во взаимно перпендекулярных колебаниях: x= 4cos(πt+π/6)см и y=3sin(πt+π/3)см. Найдите уравнение траектории материальной точки.

Answer 1

$\displaystyle \frac{4}{27}y^2+\frac{1}{12}x^2-\frac{xy}{9}-1=0$

Объяснение:

Раскроем косинус и синус суммы углов:

$\displaystyle \frac{x}{4}=\frac{\sqrt{3} }{2}cos\pi t-\frac{1}{2}sin\pi t$

$\displaystyle \frac{y}{3}=\frac{1}{2}sin\pi t+\frac{\sqrt{3} }{2}cos\pi t$

Сложим почленно эти уравнения:

$\displaystyle \frac{x}{4}+\frac{y}{3}=\sqrt{3}cos\pi t$

$\displaystyle cos \pi t=\frac{x}{4\sqrt{3} }+\frac{y}{3\sqrt{3} }$

Из основного тригонометрического тождества:

$\displaystyle sin\pi t=\sqrt{1-\left( \frac{x}{4\sqrt{3} } +\frac{y}{3\sqrt{3} } \right)^2}=\sqrt{1-\frac{x^2}{48}-\frac{xy}{18}-\frac{y^2}{27} }$

Подставляем все во второе уравнение:

$\displaystyle \frac{y}{3}=\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{48}-\frac{xy}{18}-\frac{y^2}{27} }+\frac{x}{8}+\frac{y}{6}$

$\displaystyle \frac{y}{3}-\frac{x}{4}=\sqrt{1-\frac{x^2}{48}-\frac{xy}{18}-\frac{y^2}{27} }$

Возводим обе части в квадрат, раскрываем сумму квадратов и приводим подобные:

$\displaystyle \frac{y^2}{9}-\frac{xy}{6}+\frac{x^2}{16}=1-\frac{x^2}{48}-\frac{xy}{18}-\frac{y^2}{27}$

$\displaystyle \frac{4}{27}y^2+\frac{1}{12}x^2-\frac{xy}{9}-1=0$, таким образом, траектория точки представляет собой наклоненный эллипс.