Question

Найдите явный вид матриц-операторов компонент углового момента $\hat{J}_i$ в состоянии с полным моментом $J=1$

Answer 1

Напомним основные свойства операторов углового момента с J=1

$\hat{J}_z|m\rangle = m|m\rangle\\\hat{J}^2|m\rangle = J(J+1)|m\rangle = 2|m\rangle$

Введем повышающий и понижающий операторы

$\hat{J}_\pm = \hat{J}_x\pm i\hat{J}_y$

И вспомним их действие на $|m\rangle$

$\hat{J}_\pm|m\rangle = k_\pm|m\pm1\rangle$

Чтобы найти коэффициенты, отметим, что

$|k_+|^2 = \langle m| \hat{J}_-\hat{J}_+|m\rangle = \langle m| \hat{J}^2-\hat{J}_z^2-\hat{J}_z|m\rangle = 2-m^2-m\\|k_-|^2 = \langle m| \hat{J}_+\hat{J}_-|m\rangle = \langle m| \hat{J}^2-\hat{J}_z^2+\hat{J}_z|m\rangle = 2-m^2+m$

И поймем очевидное, что возможны лишь состояния с m=-1, 0, 1. Теперь мы можем понять, что

$\hat{J}_+|{-1}\rangle = \sqrt{2}|0\rangle;\quad\hat{J}_+|0\rangle = \sqrt{2}|1\rangle;\quad\hat{J}_+|1\rangle = 0\\\hat{J}_-|1\rangle = \sqrt{2}|0\rangle;\quad\hat{J}_-|0\rangle = \sqrt{2}|{-1}\rangle;\quad\hat{J}_-|{-1}\rangle = 0\\$

Теперь рассмотрим произвольное состояние

$|\Psi\rangle =\alpha|1\rangle+\beta|0\rangle+\gamma|{-1}\rangle \equiv (\alpha,\beta,\gamma)^T$

Действие на него оператора $\hat{J}_z$ сводится к

$\hat{J}_z|\Psi\rangle = \alpha|1\rangle-\gamma|{-1}\rangle \equiv\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix}$

Оператор $\hat{J}_x = (\hat{J}_++\hat{J}_-)/2$, поэтому

$\hat{J}_x|\Psi\rangle = 2^{-1/2}(\beta|1\rangle + (\alpha+\gamma)|0\rangle + \beta|{-1}\rangle)\equiv\begin{pmatrix} 0&\sqrt{2}/2&0\\\sqrt{2}/2&0&\sqrt{2}/2\\0&\sqrt{2}/2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix}$

Аналогично  $\hat{J}_y = i(\hat{J}_- - \hat{J}_+)/2$, поэтому

$\hat{J}_y|\Psi\rangle = i2^{-1/2}(-\beta|1\rangle + (\alpha-\gamma)|0\rangle + \beta|{-1}\rangle)\equiv\begin{pmatrix} 0&-i\sqrt{2}/2&0\\i\sqrt{2}/2&0&-i\sqrt{2}/2\\0&i\sqrt{2}/2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix}$