Для решения данной задачи нам понадобится уравнение, связывающее длину волны де Бройля электрона с его энергией:
λ = h / p
где λ - длина волны де Бройля, h - постоянная Планка, p - импульс электрона.
Для атома водорода мы можем воспользоваться формулой для энергии электрона на орбите:
En = - 13.6 / n^2 эВ
где En - энергия электрона, n - номер орбиты.
В данной задаче нам дано, что электрон переходит с четвертой орбиты (n = 4) на вторую (n = 2). Мы можем использовать эти значения для определения разницы в энергии между двумя орбитами:
Теперь мы можем использовать энергетическую разницу, чтобы найти изменение импульса электрона.
ΔE = p1^2 / (2m) - p2^2 / (2m)
где p1 и p2 - импульсы электрона до и после перехода, m - масса электрона.
Так как масса электрона не меняется, мы можем упростить уравнение до:
ΔE = p1^2 - p2^2
-2.55 = p1^2 - p2^2
Теперь давайте воспользуемся связью между импульсом и длиной волны де Бройля:
p = h / λ
Так как электрон переходит на орбиту с меньшим радиусом, его импульс увеличится, поэтому p1 > p2. Следовательно, мы можем записать разницу импульсов как:
Δp = p1 - p2 = h / λ1 - h / λ2
-2.55 = (h / λ1)^2 - (h / λ2)^2
Теперь нам нужно решить это уравнение относительно λ2, чтобы найти изменение длины волны де Бройля. Преобразуя уравнение, мы получим:
(h / λ1)^2 - (h / λ2)^2 = 2.55
(h^2 / λ1^2) - (h^2 / λ2^2) = 2.55
h^2 (1 / λ1^2 - 1 / λ2^2) = 2.55
1 / λ1^2 - 1 / λ2^2 = 2.55 / h^2
Мы знаем, что постоянная Планка h = 6.63 x 10^(-34) Дж с, поэтому мы можем продолжить с решением:
1 / λ1^2 - 1 / λ2^2 = 2.55 / (6.63 x 10^(-34))^2
Теперь мы можем подставить значения λ1 = 1 / (13.6 эВ) и решить уравнение:
λ = h / p
где λ - длина волны де Бройля, h - постоянная Планка, p - импульс электрона.
Для атома водорода мы можем воспользоваться формулой для энергии электрона на орбите:
En = - 13.6 / n^2 эВ
где En - энергия электрона, n - номер орбиты.
В данной задаче нам дано, что электрон переходит с четвертой орбиты (n = 4) на вторую (n = 2). Мы можем использовать эти значения для определения разницы в энергии между двумя орбитами:
ΔE = - 13.6 / 2^2 - (-13.6 / 4^2) = -13.6 / 4 + 13.6 / 16 = -3.4 + 0.85 = -2.55 эВ
Теперь мы можем использовать энергетическую разницу, чтобы найти изменение импульса электрона.
ΔE = p1^2 / (2m) - p2^2 / (2m)
где p1 и p2 - импульсы электрона до и после перехода, m - масса электрона.
Так как масса электрона не меняется, мы можем упростить уравнение до:
ΔE = p1^2 - p2^2
-2.55 = p1^2 - p2^2
Теперь давайте воспользуемся связью между импульсом и длиной волны де Бройля:
p = h / λ
Так как электрон переходит на орбиту с меньшим радиусом, его импульс увеличится, поэтому p1 > p2. Следовательно, мы можем записать разницу импульсов как:
Δp = p1 - p2 = h / λ1 - h / λ2
-2.55 = (h / λ1)^2 - (h / λ2)^2
Теперь нам нужно решить это уравнение относительно λ2, чтобы найти изменение длины волны де Бройля. Преобразуя уравнение, мы получим:
(h / λ1)^2 - (h / λ2)^2 = 2.55
(h^2 / λ1^2) - (h^2 / λ2^2) = 2.55
h^2 (1 / λ1^2 - 1 / λ2^2) = 2.55
1 / λ1^2 - 1 / λ2^2 = 2.55 / h^2
Мы знаем, что постоянная Планка h = 6.63 x 10^(-34) Дж с, поэтому мы можем продолжить с решением:
1 / λ1^2 - 1 / λ2^2 = 2.55 / (6.63 x 10^(-34))^2
Теперь мы можем подставить значения λ1 = 1 / (13.6 эВ) и решить уравнение:
1 / (13.6)^2 - 1 / λ2^2 = 2.55 / (6.63 x 10^(-34))^2
1 / (13.6)^2 - 1 / λ2^2 = 2.55 / (6.63 x 10^(-34))^2
1 / 184.96 - 1 / λ2^2 = 2.55 / (6.63 x 10^(-34))^2
λ2^2 = 1 / (1 /184.96 - 2.55 / (6.63 x 10^(-34))^2)
λ2^2 = 1 / (0.0054 - 1.003 x 10^(-34))
λ2^2 = 1 / 0.0054
λ2 = √(1 / 0.0054)
λ2 ≈ 30.96 нм
Таким образом, при переходе электрона с четвертой на вторую орбиту, длина волны де Бройля электрона изменится на приблизительно 30.96 нм.