Одиноко стоящее дерево на обочине прямой дороги взяли за точку отсчёта. Ось координат направили вдоль дороги. По дороге идёт пешеход со скоростью 1,5 м/с вдоль оси и едет велосипедист в том же направлении со скоростью 4,5 м/с. Начальная координата пешехода равна 500 м, а велосипедиста равна 100 м. Напишите уравнения движения пешехода и велосипедиста. Найдите время и место их встречи графически и аналитически.
Пусть начальный момент времени t=0, а пешеход и велосипедист находятся на координатах x=500 м и x=100 м соответственно.
1. Уравнение движения пешехода:
У пешехода скорость v1 = 1,5 м/с, он движется в положительном направлении оси x (вдоль дороги), поэтому его уравнение движения будет иметь вид:
x1 = v1*t + x0,
где x1 - координата пешехода в момент времени t,
v1 - скорость пешехода,
t - время,
x0 - начальная координата пешехода.
Подставляя известные значения в уравнение движения пешехода получаем:
x1 = 1,5*t + 500.
2. Уравнение движения велосипедиста:
У велосипедиста скорость v2 = 4,5 м/с, он также движется в положительном направлении оси x (вдоль дороги), поэтому его уравнение движения будет иметь вид:
x2 = v2*t + x0',
где x2 - координата велосипедиста в момент времени t,
v2 - скорость велосипедиста,
t - время,
x0' - начальная координата велосипедиста.
Подставляя известные значения в уравнение движения велосипедиста получаем:
x2 = 4,5*t + 100.
3. Теперь найдем время и место их встречи.
Для этого приравниваем координаты пешехода и велосипедиста и решим полученное уравнение относительно времени:
1,5*t + 500 = 4,5*t + 100.
Вычитаем 1,5*t и 100 из обеих частей уравнения:
3*t = 400.
Теперь делим обе части уравнения на 3:
t = 400 / 3.
Получаем, что время встречи t = 400 / 3 секунд.
Теперь, чтобы найти координату встречи, подставим найденное значение времени в одно из уравнений движения (пешехода или велосипедиста). Давайте выберем уравнение движения пешехода.
x1 = 1,5 * (400 / 3) + 500.
Упрощаем выражение:
x1 = 600 + 500.
Получаем, что место встречи x1 = 1100 м.
4. Графическое решение:
Для графического решения построим графики функций x1 и x2 от времени t в одной системе координат.
Ось x будет обозначать время t, а ось y - координату x.
График уравнения движения пешехода x1 = 1,5*t + 500 будет прямой линией с положительным наклоном, которая проходит через точку (0, 500) и (t, x1).
График уравнения движения велосипедиста x2 = 4,5*t + 100 будет также прямой линией с положительным наклоном, которая проходит через точку (0, 100) и (t, x2).
Место и время встречи будут соответствовать точке пересечения этих двух прямых линий.
5. Аналитическое решение:
Мы уже нашли время и место встречи аналитически:
t = 400 / 3 секунд,
x1 = 1100 м.
Аналитическое решение подтверждает графическое решение и дает точные значения времени и координаты встречи пешехода и велосипедиста.
Таким образом, пешеход и велосипедист встретятся через 400/3 секунды на расстоянии 1100 м от исходной точки (дерева на обочине прямой дороги).