Сбашни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с. найти 1)сколько времени камень будет в движении; 2)на каком расстоянии от основания башни он упадет на землю; 3)с какой скоростью он упадет на землю 4)какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю. сопротивление воздуха не учитывать
Обозначим H=25m, v0=15 м/с, t1 - искомое время, x1 - расстояние от основания, v1 - искомая скорость, alpha - искомый угол. ^2 - квадрат, sqrt() - квадратный корень.
Введём систему координат с центром внизу башни.
Запишем систему уравнений движения по x и y:
x(t)=v0*t (x0 в нашей СК =0, ускорение по оси х отсутствует, т.к. сопротивления воздуха нет)
y(t)=H-g*(t^2)/2 (y0=H, начальная скорость по условию только по x, ускорение равно "-g", т.к. ось Y направлена вверх), откуда и найдём всё, что нам нужно.
1) из второго уравнения сразу находим время:
0=H-g*(t1^2)/2 => t1=sqrt (2*H/g) ~ 2.24 сек
2) Из первого уравнения, подставив t=t1, находим x1:
x1=v0*t1 = 2.24*15 ~ 33.5 м
3) Взяв производную по времени от обоих уравнений движения, получим уравнения на компоненты скоростей:
Vx=v0 (что и так ясно)
Vy=-gt (знак минус потому что ось Y направлена вверх)
Теперь вспоминаем, что скорость - это ВЕКТОР. А надо найти, как я понял из условия, модуль скорости. Применяя теорему Пифагора, получим:
|v1| = sqrt(Vy^2+Vx^2) = sqrt((gt1)^2+(v0)^2) ~ 27 м/с
4) Напишем уравнение траектории:
(т.е. выразим из первого уравнения t через x , подставим во второе и получим функцию y(x) ) :
y(x) = H - g/2*((x/v0)^2) - это парабола.
воспользуемся готовой формулой между касательной к графику функции в точке x1 и осью X:
tg(alpha)=y'(x1)
Берём производную по x:
y'(x) = -gx/((v0^2), подставляем x=x1, затем берём арктангенс
alpha = arctg ( -gx1/((v0^2) ) = arctg (- 1.49) ~ 124 градуса.
Напоминаю, что угол отсчитывается от оси X против часовой стрелки.