Question

Металлический стержень длиной l=0,2 м закреплен на горизонтально расположенной оси, проходящей через один из его концов. Масса стержня
0,4 кг. Стержень совершает вынужденные колебания с циклической частотой
Ω=6 рад/с под действием гармонической силы, максимальное значение которой
F0=0,32 Н. Определить амплитуду колебаний стержня, если коэффициент
затухания β=1,6 рад/с.

Answer 1

Добрый день! Давайте разберемся вместе с этим вопросом.

1. В начале рассмотрим формулу для вынужденных колебаний механической системы:
m * x'' + β * x' + k * x = F0 * cos(Ω * t + φ),
где m - масса системы (0,4 кг),
x - перемещение системы относительно положения равновесия,
β - коэффициент затухания (1,6 рад/с),
k - жесткость системы,
F0 - амплитуда внешней силы (0,32 Н),
Ω - циклическая частота внешней силы (6 рад/с),
t - время,
φ - начальная фаза.

2. У нас есть данные о массе стержня (m = 0,4 кг) и его длине (l = 0,2 м). Воспользуемся формулой для вычисления жесткости:
k = (m * Ω^2) / l,
где Ω - циклическая частота (6 рад/с).

Подставив значения, получим:
k = (0,4 кг * (6 рад/с)^2) / 0,2 м = 72 Н/м.

3. Теперь перейдем к определению амплитуды колебаний стержня. Для этого необходимо знать начальное положение (x0) и начальную скорость (v0) стержня.

4. При вынужденных колебаниях стержня система находится в равновесии только при F = 0. Поэтому мы можем утверждать, что стержень находится в равновесии при t = 0, то есть x(0) = 0 и v(0) = 0.

5. Как мы знаем, при вынужденных колебаниях система имеет две частоты:
- собственная частота (ω0), определяемая формулой:
ω0^2 = k / m,
где ω0 - собственная частота,
k - жесткость,
m - масса системы.

- циклическая частота внешней силы (Ω).

6. Для определения амплитуды колебаний стержня воспользуемся формулой:
A = F0 / (m * (ω0^2 - Ω^2)^2 + β^2 * Ω^2),
где A - амплитуда колебаний.

7. Вычислим сначала собственную частоту стержня:
ω0^2 = 72 Н/м / 0,4 кг = 180 рад/с,
ω0 = √(180 рад/с) ≈ 13,42 рад/с.

8. Используя данные, подставим значения в формулу для амплитуды колебаний:
A = 0,32 Н / (0,4 кг * (13,42 рад/с)^2 - (6 рад/с)^2)^2 + (1,6 рад/с)^2),
A = 0,32 Н / (0,4 кг * (179,76 рад^2/с^2 - 36 рад^2/с^2)^2 + (2,56 рад^2/с^2)),
A = 0,32 Н / (0,4 кг * 143,76 рад^2/с^2 + 2,56 рад^2/с^2),
A = 0,32 Н / (57,504 рад^2/с^2 + 2,56 рад^2/с^2),
A = 0,32 Н / 60,064 рад^2/с^2,
A ≈ 0,005 Н/рад.

Ответ: Амплитуда колебаний стержня составляет примерно 0,005 Н/рад.