Question

Однородный стержень АВ длиной 2L свободно падает, вращаясь в вертикальной плоскости вокруг своего центра тяжести С с постоянной угловой скоростью, величина которой равна ω. В начальный момент стержень находился в горизонтальном положении. Найти величины скоростей VA и VB концов стержня А и В соответственно для любого момента времени t его падения.

Answer 1

Добрый день! С удовольствием помогу вам разобраться с этой задачей.

Для начала, давайте разоберемся с системой отсчета координат. Пусть ось OY направлена вверх, а ось OX направлена вправо. Теперь мы можем задать положение стержня АВ в любой момент времени t.

Пусть величина угла поворота стержня АВ относительно начального положения в горизонтальном положении равна θ. Тогда координаты точек А и В можно выразить следующим образом:

xA = -L * sin(θ)
yA = -L * cos(θ)

xB = L * sin(θ)
yB = L * cos(θ)

Теперь, для того чтобы найти скорости VA и VB в точках А и В соответственно, мы будем использовать формулу для скорости поступательного движения и формулу для скорости вращательного движения.

Формула для скорости поступательного движения:
vA = d(rA)/dt
vB = d(rB)/dt

Формула для скорости вращательного движения:
ω = dθ/dt

Здесь rA и rB - векторы радиус-вектора точек А и В соответственно.

Сначала найдем скорости поступательного движения точек А и В:

vA = d(rA)/dt = (dxA/dt)i + (dyA/dt)j
vB = d(rB)/dt = (dxB/dt)i + (dyB/dt)j

Теперь нужно найти производные dxA/dt, dyA/dt, dxB/dt и dyB/dt. Находим:

dxA/dt = -L * cos(θ) * dθ/dt
dyA/dt = L * sin(θ) * dθ/dt

dxB/dt = L * cos(θ) * dθ/dt
dyB/dt = -L * sin(θ) * dθ/dt

Подставляем найденные значения в формулы для скоростей:

vA = -L * cos(θ) * dθ/dt * i + L * sin(θ) * dθ/dt * j
vB = L * cos(θ) * dθ/dt * i - L * sin(θ) * dθ/dt * j

Теперь скорость углового движения ω связана с dθ/dt следующим образом:

ω = dθ/dt

Из этой формулы следует, что dθ/dt = ω. Подставляем в найденные выражения для скоростей:

vA = -L * cos(θ) * ω * i + L * sin(θ) * ω * j
vB = L * cos(θ) * ω * i - L * sin(θ) * ω * j

Таким образом, величины скоростей VA и VB концов стержня А и В соответственно для любого момента времени t его падения равны:

VA = -L * cos(θ) * ω
VB = L * cos(θ) * ω

Надеюсь, что ответ понятен. Если остались вопросы, пожалуйста, задавайте!