У нас есть задача, в которой говорится, что за 1 с (одну секунду) амплитуда свободных колебаний уменьшается в 10 раз. Нам нужно найти время (т = тау), за которое амплитуда уменьшится в 100 раз.
Для начала нам нужно понять, как связаны амплитуды в разные моменты времени. Для этого воспользуемся формулой для свободных колебаний гармонического осциллятора:
A(t) = A0 * exp(-t/τ),
где A(t) - амплитуда в момент времени t,
A0 - начальная амплитуда (в момент времени t=0),
τ - время затухания, характеризующее убывание амплитуды.
Теперь нам нужно найти время (т = тау), при котором амплитуда уменьшится в 100 раз. Для этого мы можем записать следующее соотношение:
A(т) = A(0) / 100.
Теперь подставим наше выражение для A(t) и решим это уравнение относительно тау:
A(0) * exp(-т/τ) = A(0) / 100.
Делим обе части уравнения на A(0):
exp(-т/τ) = 1 / 100.
Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:
-ln(1/100) = -т/τ.
Используя логарифмическое свойство ln(1/a) = -ln(a), получаем:
ln(100) = т/τ.
Используя определение натурального логарифма ln(x) = y, можно записать:
e^(ln(100)) = e^(т/τ).
e^ln(x) = x, поэтому мы получаем:
100 = e^(т/τ).
Теперь возведем обе части уравнения в степень e:
e^(ln(100)) = e^(т/τ).
100 = e^(т/τ).
Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:
ln(100) = т/τ.
Из этого уравнения мы можем найти τ:
τ = т / ln(100).
Таким образом, временем (τ), за которое амплитуда уменьшится в 100 раз, является дробь, где числитель равен времени (т), за которое амплитуда уменьшается в 10 раз, а знаменатель - натуральный логарифм от 100.
У нас есть задача, в которой говорится, что за 1 с (одну секунду) амплитуда свободных колебаний уменьшается в 10 раз. Нам нужно найти время (т = тау), за которое амплитуда уменьшится в 100 раз.
Для начала нам нужно понять, как связаны амплитуды в разные моменты времени. Для этого воспользуемся формулой для свободных колебаний гармонического осциллятора:
A(t) = A0 * exp(-t/τ),
где A(t) - амплитуда в момент времени t,
A0 - начальная амплитуда (в момент времени t=0),
τ - время затухания, характеризующее убывание амплитуды.
Теперь нам нужно найти время (т = тау), при котором амплитуда уменьшится в 100 раз. Для этого мы можем записать следующее соотношение:
A(т) = A(0) / 100.
Теперь подставим наше выражение для A(t) и решим это уравнение относительно тау:
A(0) * exp(-т/τ) = A(0) / 100.
Делим обе части уравнения на A(0):
exp(-т/τ) = 1 / 100.
Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:
-ln(1/100) = -т/τ.
Используя логарифмическое свойство ln(1/a) = -ln(a), получаем:
ln(100) = т/τ.
Используя определение натурального логарифма ln(x) = y, можно записать:
e^(ln(100)) = e^(т/τ).
e^ln(x) = x, поэтому мы получаем:
100 = e^(т/τ).
Теперь возведем обе части уравнения в степень e:
e^(ln(100)) = e^(т/τ).
100 = e^(т/τ).
Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:
ln(100) = т/τ.
Из этого уравнения мы можем найти τ:
τ = т / ln(100).
Таким образом, временем (τ), за которое амплитуда уменьшится в 100 раз, является дробь, где числитель равен времени (т), за которое амплитуда уменьшается в 10 раз, а знаменатель - натуральный логарифм от 100.