H - исходная высота , h - искомая
α1=45° α2=30°
E0 - исходная энергия , потенциальная , mgH
E1 - энергия в нижней точки горы, кинетическая
E2 - энергия конечная, потенциальная, mgh
Сила трения , действующая на лыжника равна
Fтр. = μmg*cos(α)
ее работа (сила трения всегда направлена против перемещения)
Aтр. = Fтр.* S = Fтр. * H / sin(α1) = mgH * μ* ctg(α1) = E0 * μ * ctg (α1)
В нижней точке горы энергия ( уже кинетическая) равна
E1 = E0-Aтр= E0 * (1 - μ*ctg(α1))
При подьеме все тоже самое
E2 = E1 * (1 - μ*ctg(α2))= E0 * (1 - μ*ctg(α1)) * (1 - μ*ctg(α2))
Ну или сокращая на mg ( g - в условии лишний параметр ! )) )
h= H * (1 - μ*ctg(α1)) * (1 - μ*ctg(α2)) = 55 * (1-0.1*1) * ( 1-0.1*√3) = ~ 41 м - округляя до целых.
Объяснение:
Дано :
h = 55 м
α = 45°
β = 30°
μ = 0,1
g = 10 м/с²
-----------------------
h(1) - ?
С проецированием силы ( на оси Оx и Оу ) действующие на тела в начале его движения на горе высоты ( h )
Предположим то что вектор ускорения ( а ) сонаправлен со скоростью движения тела ( если мы предположили правильно , то ( а ) получится со знаком + , если неправильно то - )
Ох : ma = mgsinα - Fтр. (1)
Оу : 0 = N - mgcosα (2)
из уравнения (2) получим
N = mgcosα (3)
( мы знаем то что Fтр. = μN )
из уравнений (1) и (3) получим
ma = mgsinα - μmgcosα
упростим
а = g ( sinα - μcosα )
( cos45° = sin45° = √(2)/2 ≈ 0,7 )
a = 10 * ( 0,7 - 0,1 * 0,7 ) ≈ 6 м/с²
из геометрии рисунка можем определить что
sinα = h / s
s = h / sinα
s = 55 / 0,7 ≈ 78,6 м
из кинематики мы знаем что
s = ( v² - v0² ) / ( 2a )
так как начальная скорость тела ( v0 ) равна 0 м/с , тогда
s = v² / ( 2a )
где v - конечная скорость тела у подножья горы высотой h
v = √( 2as )
v = √ ( 2 * 6 * 78,6 ) ≈ 31 м/с
Теперь также можем спроецировать силы действующие на оси Ох и Oy на горе высоты ( h(1) )
Опять также предположим то что вектор ускорения ( а(1) ) сонаправлен со скоростью движения тела в начале его движения по горе высотой ( h(1) )
Отсюда получим
Ox : ma(1) = - mgsinβ - Fтр.(1)
Оу : 0 = N(1) - mgcosβ
отсюда
N(1) = mgcosβ
ma(1) = - mgsinβ - μmgcosβ
упростим
a(1) = g ( - sinβ - μcosβ )
( cos30° = √(3)/2 ≈ 0,87 ; sin30° = 0,5 )
a(1) = 10 * ( - 0,5 - 0,1 * 0,87 ) ≈ - 5,87 м/с²
L = ( v(1)² - v² ) / ( 2a(1) )
где v(1) - конечная скорость тела на горе высотой ( h(1) ) равная 0 м/с , тогда
L = -v² / ( 2a(1) )
L = - ( 31 )² / ( 2 * ( - 5,87 ) ≈ 82 м
sinβ = h(1) / L
h(1) = Lsinβ
h(1) = 82 * 0,5 = 41 м