Тягарець невеликих розмірів підвішено на нитці і приведено в коливальний рух. За рівнянням залежності координати коли-
вального тіла від часу (всі величини задано в СІ) х = 4sin /2t
визначити: частоту, період і амплітуду коливань, а також довжину
математичного маятника. Якою повинна бути жорсткість пружи-
ни, щоб тіло, підвішане до неї, здійснювало коливання з тією ж
частотою? Маса тіла 2 кг.
Уравнение зависимости координаты колебательного тела от времени: x = 4sin(2t), где x - координата тела, t - время (в секундах), все величины заданы в СИ.
Масса тела: m = 2 кг.
1. Частота (f):
Частота колебаний - это количество полных колебаний, осуществляемых телом за 1 секунду. Для определения частоты в данной задаче нужно обратить внимание на аргумент функции синуса в уравнении.
Уравнение координаты колебательного тела имеет вид x = 4sin(2t).
Сравнивая его с уравнением x = Asin(2πft) для гармонических колебаний, можно увидеть, что в данном случае "2t" является аргументом функции синуса, а "2πft" является аргументом функции синуса для гармонических колебаний.
Следовательно, "2t" и "2πft" должны быть равными друг другу, что позволяет нам найти частоту.
Итак, у нас есть:
2t = 2πft
t = πft
f = t / π
Так как t - это время, то в нашем случае равно 1 секунде, то:
f = 1 / π
f ≈ 0,3183 Гц (округляется до 4 знаков после запятой)
Ответ: Частота колебаний равна примерно 0,3183 Гц.
2. Период (T):
Период колебаний - это время, за которое тело совершает одно полное колебание.
Известно, что период (T) связан с частотой (f) следующим соотношением:
T = 1 / f
В нашем случае, f ≈ 0,3183 Гц, поэтому:
T = 1 / 0,3183
T ≈ 3,142 секунды (округляется до 3 знаков после запятой)
Ответ: Период колебаний равен примерно 3,142 секунды.
3. Амплитуда (A):
Амплитуда колебаний - это максимальное смещение тела от положения равновесия.
В нашем уравнении x = 4sin(2t), коэффициент перед sin(2t) равен 4. Следовательно, амплитуда колебаний равна 4.
Ответ: Амплитуда колебаний равна 4.
4. Длина математического маятника (l):
Для определения длины математического маятника, который бы имел такую же частоту колебаний, нужно использовать формулу для периода колебаний математического маятника:
T = 2π√(l/g), где T - период, l - длина маятника, g - ускорение свободного падения (около 9,8 м/с²).
Решим уравнение относительно l:
l = (T/2π)²g
Подставляем T = 3,142 секунды и g ≈ 9,8 м/с²:
l = (3,142/2π)² * 9,8
l ≈ 0,4878 метра (округляется до 4 знаков после запятой)
Ответ: Длина математического маятника должна быть примерно равна 0,4878 метра.
5. Жорсткість пружини (k):
Для того чтобы body, підвішание до пружини, здійснювало коливання з тією ж частотою, нужно найти жорсткість пружини (k). Жорсткість пружини связана с частотой ф уравнением:
f = 1 / 2π√(k/m), где f - частота, k - жорсткість пружини, m - маса тела.
Решим уравнение относительно k:
k = (1 / 2π√f)² * m
Подставляем f ≈ 0,3183 Гц и m = 2 кг:
k = (1 / 2π√0,3183)² * 2
k ≈ 9,86 Н/м (округляется до 2 знаков после запятой)
Ответ: Жорсткість пружини должна быть примерно равна 9,86 Н/м.