Question

Частота вращения n0 маховика, момента инерции J которого равен 120 кг·м2, составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время t = π мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определите момент М сил трения.

Answer 1

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно использовать закон сохранения механической энергии. Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергии тела остается постоянной, если на него не действуют внешние силы. В данном случае, после прекращения действия вращающего момента, на маховик действует только сила трения, и потенциальная энергия не меняется.

Известные данные:
J = 120 кг·м² (момент инерции маховика)
n₀ = 240 об/мин (начальная частота вращения)
t = π мин (время остановки)

Первым шагом нужно перевести начальную частоту вращения n₀ из оборотов в минуту в радианы в секунду, так как СИ система использует радианы и секунды.

Для этого воспользуемся соотношением:
n = 2πf

где n - частота вращения в радианах в секунду,
f - частота вращения в оборотах в секунду.

240 об/мин = 240/60 об/с = 4 об/с
4 об/с * 2π радиан/об = 8π рад/с

Теперь найдем кинетическую энергию маховика в начальный момент времени (K₀) и в конечный момент времени (K).

K₀ = (1/2)Jω₀²
K = (1/2)Jω²

где ω₀ - начальная угловая скорость маховика,
ω - конечная угловая скорость маховика.

Перепишем формулы:

K₀ = (1/2)J(n₀)²
K = (1/2)J(0)²

Мы знаем, что потенциальная энергия остается неизменной, следовательно, изменение кинетической энергии будет равно работе, совершаемой силой трения.

ΔK = K - K₀ = A

где ΔK - изменение кинетической энергии,
A - работа силы трения.

Теперь найдем изменение кинетической энергии и работу силы трения:

ΔK = (1/2)J(0)² - (1/2)J(n₀)²
ΔK = (-1/2)J(n₀)²

A = ΔK

Так как ΔK = A, то можем записать:

A = (-1/2)J(n₀)²

Работа, совершаемая силой трения, равна изменению кинетической энергии.

Аконечное = Аначальное

Мы знаем, что работа силы трения равна:
A = М * dφ (где М - момент силы, dφ - угол смещения)

В данном вопросе достаточно момента (М) этих сил, важно узнать его значение. Применяем закон действия и противодействия, учитываем, что сила трения противоположна некоторой силе разгона (рх1), эти силы пропорциональны угловой скорости:
Мтр = - Мраз

для нашего вопроса:
Мтр = Мраз = М

Выразим Мраз:

Мраз = J * α

где α - угловое ускорение маховика.

Имеем:

М = J * α

Разобьем эту формулу на две:

α = (ω - ω₀) / t
М = J * [(ω - ω₀) / t]

Подставим значение ω₀, ω и t:

М = J * [(0 - 8π) / π]

Упростим формулу:

М = -8Jπ

Таким образом, момент силы трения М равен -8Jπ.