Question

Две плоские круговые обкладки радиусом r = 16 см разделены слоем диэлектрика толщиной d = 2 мм. емкость такого конденсатора c = 2 нф. определите относительную диэлектрическую проницаемость ε.

Answer 1

Для решения данной задачи, нам понадобятся формулы, связывающие емкость конденсатора с его параметрами.

Емкость конденсатора определяется формулой:
C = (ε * ε₀ * S) / d,

где C - емкость конденсатора,
ε - относительная диэлектрическая проницаемость,
ε₀ - диэлектрическая постоянная (ε₀ = 8.85 * 10⁻¹² Ф/м),
S - площадь обкладок конденсатора,
d - толщина диэлектрика.

Из задачи известны значения r и d, нужно определить ε.

Шаг 1: Определим площадь обкладок конденсатора.
Площадь обкладки одной круговой пластины конденсатора равна:
S₁ = π * r²,
S₂ = π * (r + d)².

Шаг 2: Найдем площадь слоя диэлектрика.
Площадь слоя диэлектрика можно найти, вычитая площадь обкладок:
S(dielectric) = S₂ - S₁.

Шаг 3: Подставим все известные значения в формулу для емкости конденсатора.
C = (ε * ε₀ * S(dielectric)) / d.

Шаг 4: Решим уравнение относительно ε.
ε = (C * d) / (ε₀ * S(dielectric)).

Теперь, когда у нас есть пошаговое решение, мы можем начать вычисления:

Шаг 1: Расчет площади обкладок.
S₁ = π * r²,
S₁ = π * (16 см)²,
S₁ ≈ 803.84 см².

S₂ = π * (r + d)²,
S₂ = π * (16 см + 0.2 см)²,
S₂ ≈ 881.33 см².

Шаг 2: Определение площади слоя диэлектрика.
S(dielectric) = S₂ - S₁,
S(dielectric) ≈ 881.33 см² - 803.84 см²,
S(dielectric) ≈ 77.49 см².

Шаг 3: Подстановка значений в формулу для емкости конденсатора.
C = (ε * ε₀ * S(dielectric)) / d,
C = (2 нф * 10⁻⁹ Ф/нс * 77.49 см²) / 2 мм,
C = (2 * 10⁻⁹ * 77.49) / 2,
C ≈ 7.749 * 10⁻⁹ Ф.

Шаг 4: Решение уравнения относительно ε.
ε = (C * d) / (ε₀ * S(dielectric)),
ε = (7.749 * 10⁻⁹ Ф * 0.2 см) / (8.85 * 10⁻¹² Ф/м * 77.49 см²),
ε = (1.5498 * 10⁻⁹ Ф) / (6.89965 * 10⁻⁹ Ф/м * 7.749 * 10⁻⁴ м²),
ε ≈ 3.005.

Ответ: Относительная диэлектрическая проницаемость ε ≈ 3.005.