Question

Бедному студенту) имеются 2 цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый (полый) тонкий (m=0,5 кг) одинакового радиуса r=6,0 см и одинаковой массы. за какое время каждый цилиндр скатится без скольжения с наклонной
плоскости? высота наклонной плоскости h=0,50 м, угол наклона плоскости а =30. начальная скорость каждого цилиндра равна нулю.

Answer 1

Будем считать, что сила трения качения пренебрежимо мала, а также пренебрежем сопротивлением воздуха. Тогда для обоих случаев должен выполняться закон сохранения полной механической энергии.

 1) Таким образом в обоих случаях цилиндры движутся под действием составляющей силы тяжести параллельной наклонной плоскости. Из второго закона Ньютона получим:

          $m*g*sin\alpha=m*a$, отсюда 

           $a=g*sin\alpha$--------(1)

где $a$ - ускорение поступательного движения цилиндра.

       С другой стороны ускорение $a$ равно:

           $a=\frac{v-v_{o}}{t}=\frac{v}{t}$-------(2)

где $v_{o}=0$ - начальная скорость (по условию)

      $v$ - скорость цилиндра через промежуток времени $t$, когда он коснется первый раз горизонтали.  

Из (1) и (2) найдем искомое время $t$:

             $t=\frac{v}{g*sin\alpha}$---------(3)

2) Конечную скорость $v$ найдем с закона сохранения механической энергии:

$m*g*[h+R(cos\alpha-1)]=\frac{J\omega^{2}}{2}+\frac{m*v^{2}}{2}$------(4)

      $J=k*m*R^{2}$ ------(5)

где $J$ - момент инерции цилиндра относительно его оси симметрии;

 $\omega=\frac{v}{R}$ --------(6)

     $\omega$  - угловая скорость вращения цилиндра 

Подставим в (4) вместо $J$ и $\omega$ выражения (5) и (6), получим после сокращения: 

 $g*[h+R(cos\alpha-1)]=\frac{k*v^{2}}{2}+\frac{v^{2}}{2}$, отсюда

          $v=\sqrt{\frac{2g*[h+R(cos\alpha-1)]}{k+1}}$----------(7)

Подставим в (3) вместо $v$ выражение (7), получим расчетную формулу для искомого времени:           

 $t=\sqrt{\frac{2*[h+R(cos\alpha-1)]}{g*(k+1)sin^{2}\alpha}}$

Расчет времени:

а) Для сплошного цилиндра, для которого $k=\frac{1}{2}$:

       $t=\sqrt{\frac{2*[0,5+6*10^{-2}(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)]}{9,8*(\frac{3}{2})*\frac{1}{4}}\approx0,52$ с

б) Для тонкостенного цилиндра, для которого $k=1$ :

    $t=\sqrt{\frac{2*[0,5+6*10^{-2}(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)]}{9,8*2*\frac{1}{4}}\approx0,45$