Двухатомный идеальный газ (ν = 2 моль), занимающий объем V1 = 2 л, нагревают изохорно до температуры Т2 = 300 К так, что его давление увеличивается в 3 раза. Далее при адиабатном расширении температура газа уменьшается до Т3 = 200 К. Постройте график процесса и определите: 1) начальную температуру газа;
2) начальное давление газа;
3) давление газа после изохорного нагревания;
4) давление газа после адиабатного расширения;
5) объем газа после адиабатного расширения;
6) работу, совершаемую в ходе указанных процессов;
7) изменение внутренней энергии газа;
8) количество теплоты, сообщаемое газу;
9) изменение энтропии в ходе указанных процессов.
1) Начальная температура газа (T1):
Так как изначально газ находится при объеме V1 = 2 л и после его нагрева давление увеличивается в 3 раза, можем использовать закон Бойля-Мариотта: P1*V1 = P2*V2. Зная, что P2 = 3*P1 и V1 = 2 л, можем записать уравнение: P1*2 = (3*P1)*V2. Так как газ двухатомный идеальный, то его молярная масса составляет примерно 2 г/моль. Поэтому можем использовать уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где P - давление газа, V - объем, n - количество молей газа, R - универсальная газовая постоянная, T - температура. Подставляем в уравнение известные значения: P1 * 2 = 2 * 8.31 * T1. Упрощаем уравнение и решаем относительно T1: P1 = 8.31 * T1. Подставляем в уравнение значение P2 = 3 * P1: 3 * P1 = 8.31 * T1. Делим обе части уравнения на P1 и получаем: 3 = 8.31 * (T1 / P1). Учитывая, что T1 / P1 = V1 / nR, получаем: (3 / 8.31) = (2 / (2 * 2)). Решаем полученное уравнение: T1 = (3 / 8.31) * (2 / (2 * 2)) ≈ 0.072 K.
2) Начальное давление газа (P1):
Используем снова закон Бойля-Мариотта: P1*V1 = P2*V2. Делим обе части уравнения на V1 и получаем: P1 = (P2*V2) / V1. Подставляем известные значения: P1 = (3*P1*2) / 2. Упрощаем уравнение и решаем относительно P1: 2 * P1 = 3 * P1. Делим обе части уравнения на P1 и получаем: 2 = 3. Решить это уравнение невозможно, так как оно противоречит условию задачи. Следовательно, начальное давление газа (P1) не может быть определено по условию задачи.
3) Давление газа после изохорного нагревания (P2):
По условию задачи давление газа увеличивается в 3 раза после его нагрева при постоянном объеме (изохорном процессе). Для нахождения P2 можно использовать уравнение Ван-дер-Ваальса: (P + a / V^2) * (V - b) = RT. Для двухатомного идеального газа a = 0 и b = 0, тогда уравнение примет вид: P * V = RT. Подставляем известные значения: P1 * V1 = P2 * V2. Так как P1 = 3 * P2 и V1 = 2 л, можем записать уравнение: 3 * P2 * 2 = P2 * V2. Упрощаем уравнение и решаем относительно P2: 3 * 2 = V2. Подставляем в уравнение известное значение V2 = 2 л: P2 = 3 * 2 / 2 = 3.
4) Давление газа после адиабатного расширения (P3):
Адиабатический процесс характеризуется отсутствием теплообмена с окружающей средой (q = 0). Для двухатомного идеального газа адиабатический процесс описывается уравнением Пуассона: P1 * V1^(γ) = P2 * V2^(γ), где γ - показатель адиабаты. Для двухатомного газа γ = 1.4. Подставляем известные значения и решаем полученное уравнение: P2 * V2^(γ) = P3 * V3^(γ). Учитывая, что V2 = 2 л и T3 = 200 К, а также известное значение P2 = 3, получаем: 3 * 2^1.4 = P3 * V3^1.4. Решаем это уравнение и получаем значение P3 ≈ 6.08.
5) Объем газа после адиабатного расширения (V3):
Используем уравнение Пуассона: P1 * V1^(γ) = P2 * V2^(γ) = P3 * V3^(γ). Подставляем известные значения и решаем уравнение относительно V3: P3 * V3^(γ) = 3 * 2^1.4. Учитывая, что γ = 1.4 и P3 ≈ 6.08, получаем: 6.08 * V3^1.4 = 3 * 2^1.4. Решаем уравнение и получаем значение V3 ≈ 8.29 л.
6) Работа, совершаемая в ходе указанных процессов:
Для нахождения работы (W) используем уравнение Адиабатического закона: W = C_v * (T1 - T3), где C_v - молярная теплоемкость при постоянном объеме. Для двухатомного идеального газа C_v = 5/2 * R, где R - универсальная газовая постоянная. Подставляем известные значения и решаем уравнение: W = (5/2 * R) * (T1 - T3). Учитывая, что R = 8.31 Дж /(моль * К) и известные значения T1 ≈ 0.072 K и T3 = 200 K, получаем: W = (5/2 * 8.31) * (0.072 - 200) ≈ -825.45 Дж.
7) Изменение внутренней энергии газа (ΔU):
Изменение внутренней энергии газа можно выразить через первый начало термодинамики: ΔU = q - W, где q - теплота, сообщаемая газу, W - работа, совершаемая над газом. Так как процессы изохорного нагревания и адиабатического расширения являются горячими процессами, меняющими внутреннюю энергию газа, учитываем только работу. Подставляем известное значение W ≈ -825.45 Дж и получаем: ΔU = 0 - (-825.45) ≈ 825.45 Дж. Количество изменения внутренней энергии газа составляет примерно 825.45 Дж.
8) Количество теплоты, сообщаемое газу (q):
Так как процессы изохорного нагревания и адиабатического расширения являются горячими процессами, меняющими внутреннюю энергию газа, учитываем только работу. То есть q = ΔU + W. Подставляем известные значения ΔU ≈ 825.45 Дж и W ≈ -825.45 Дж и получаем q = 825.45 + (-825.45) ≈ 0 Дж. Количество теплоты, сообщаемое газу, составляет примерно 0 Дж.
9) Изменение энтропии в ходе указанных процессов:
Для нахождения изменения энтропии (ΔS) используем формулу: ΔS = n * C_v * ln(T2 / T1) - n * R * ln(V2 / V1), где n - количество молей газа. Подставляем известные значения и решаем уравнение: ΔS = 2 * 5/2 * 8.31 * ln(300 / 0.072) - 2 * 8.31 * ln(2 / 2). Учитывая, что ln(300 / 0.072) ≈ 8.839 и ln(2 / 2) = 0, получаем: ΔS = 2 * 5/2 * 8.31 * 8.839 - 2 * 8.31 * 0 ≈ 232.68 Дж /(К * моль). Количество изменения энтропии газа составляет примерно 232.68 Дж /(К * моль).