Question

Высота пламени свечи 5 см. Линза дает на экране изображение этого пламени высотой 15 см. Не трогая линзы, свечу отодвигают на 1,5 см дальше от линзы и, передвинув экран, вновь получают четкое изображение пламени высотой 10 см. Определите главное фокусное расстояние линзы ​

Answer 1

Честно говоря, я даже не представляю как здесь решить по-простому. В задаче многовато неизвестных, которые в одно-два действия и не выразишь.

Дано:

h = 5 см

H = 15 см

Δd = 1,5 см

H' = 10 см

F - ?

Линзу не меняли, значит мы можем приравнять выражения для отношения (1/F) друг к другу:

$\frac{1}{F} =\frac{1}{F} \\\\\frac{1}{f} +\frac{1}{d} =\frac{1}{f'} +\frac{1}{d'}$       (1)

d' нам известно - оно равняется расстоянию до передвижения d + изменение расстояния Δd:

d' = d + Δd

Тогда выразим f и f' из формулы линейного увеличения линзы (вместо традиционной буквы "Г" я использую букву "G", поскольку редактор уравнений не может прописывать русские буквы):

$G=\frac{H}{h} =\frac{f}{d} =f=\frac{Hd}{h} =d\frac{H}{h} \\G'=\frac{H'}{h} =\frac{f'}{d'} =f'=\frac{H'd'}{h} =d'\frac{H'}{h}=(d+deltaD)\frac{H'}{h}\\\\\frac{H}{h} =\frac{15}{5}=3=f= 3d\\\frac{H'}{h}=\frac{10}{5}=2=f'=2(d+deltaD)$

Подставляем эти выражения в уравнение (1):

$\frac{1}{3d} +\frac{1}{d} =\frac{1}{2(d+deltaD)} +\frac{1}{d+deltaD} \\\\\frac{4}{3d} =\frac{3}{2(d+deltaD)}|* 6d(d+deltaD) \\8(d+deltaD)=9d\\8d+8deltaD=9d\\d=8deltaD = 8*1,5=12$

Получили значение первичного расстояния между свечой и линзой. Подставляем его в выражение для первичного расстояния f между экраном и линзой:

$f=3d=3*12=36$

Возвращаемся к уравнению для обратного фокусного расстояния (1/F), переворачиваем его и подставляем найденные значения:

$\frac{1}{F} =\frac{1}{f} +\frac{1}{d} =\frac{d+f}{fd} \\F=\frac{fd}{f+d}=\frac{36*12}{36+12}=\frac{432}{48}=9$

ответ: 9 см.