Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид х= 5 sin 2t (длина выражена в сантиметрах ,время в секундах). в момент , когда
возвращающая сила впервые приняла значение F = +5 мН, точка обладала потенциальной энергией П = 0.1 МДж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу φ колебания.
Первым шагом решения задачи будет выразить возвращающую силу и потенциальную энергию через заданное уравнение гармонических колебаний.
Возвращающая сила (F) в гармонических колебаниях пропорциональна смещению (х) и обратно пропорциональна квадрату амплитуды (A):
F = -k * x
где k - коэффициент пропорциональности или жёсткость пружины.
Потенциальная энергия (П) гармонического осциллятора также пропорциональна квадрату амплитуды:
П = (1/2) * k * A^2
С учетом данного уравнения гармонических колебаний (х= 5 sin 2t), мы можем выразить возвращающую силу и потенциальную энергию в терминах времени (t):
F = -k * 5 sin 2t
П = (1/2) * k * (5 sin 2t)^2
Теперь мы можем использовать полученные уравнения, чтобы найти момент времени (t) и фазу колебания (φ), когда возвращающая сила достигает значения F = +5 мН, а потенциальная энергия П = 0.1 МДж.
Для начала найдем значение жесткости пружины (k) из уравнения потенциальной энергии (П):
П = (1/2) * k * (5 sin 2t)^2
0.1 МДж = (1/2) * k * (5 sin 2t)^2
Переведем потенциальную энергию в систему МКС: 1 МДж = 10^6 Дж, следовательно, 0.1 МДж = 10^5 Дж.
10^5 Дж = (1/2) * k * (5 sin 2t)^2
Разделим обе части уравнения на (1/2) и подставим значения, чтобы выразить жесткость пружины (k):
10^5 Дж / (1/2) = k * (5 sin 2t)^2
2 * 10^5 Дж = k * (5 sin 2t)^2
Теперь заменим F на значение +5 мН в уравнении для возвращающей силы (F):
5 мН = -k * 5 sin 2t
Деление двух уравнений позволит нам найти значение синуса (sin 2t):
(5 мН) / (-k * 5) = sin 2t
(-1) / k = sin 2t
Используя обратную функцию синуса, найдем значение аргумента 2t:
2t = arcsin[(-1) / k]
Теперь мы должны найти значение жесткости пружины (k), чтобы выразить аргумент 2t:
5 мН = -k * 5 sin 2t
5 мН = -k * 5 sin[arcsin[(-1) / k]]
5 мН = -k * 5 * [(-1) / k]
Разделим обе части уравнения на 5 и сократим коэффициенты k в левой части:
1 мН = k
Теперь, когда у нас есть значение жесткости пружины (k = 1 мН), мы можем подставить его в уравнение для аргумента 2t:
2t = arcsin[(-1) / k]
2t = arcsin[(-1) / 1 мН]
2t = arcsin(-1)
Теперь мы должны найти значение аргумента arcsin(-1), чтобы найти фазу колебания (φ).
Прежде чем продолжить, важно отметить, что функция синуса не принимает значений больше 1 или меньше -1. Таким образом, мы ищем аргумент, при котором sin(аргумент) = -1.
Аргумент arcsin(-1) равен -π/2 или -90 градусам. Однако, в таком случае sin(-π/2) = -1, что не соответствует начальному условию (+5 мН). Поэтому, мы должны найти другое значение аргумента, при котором sin(аргумент) = -1.
Второе значение возникает во второй четверти тригонометрической окружности, и равно -π + (π/2) = -π/2.
Таким образом, аргумент arcsin(-1) равен -π/2 или -90 градусам.
Теперь, когда у нас есть значение аргумента 2t и фазы колебания (φ), мы можем определить значение времени (t).
2t = -π/2
Таким образом, t = (-π/2) / 2 = -π/4
Ответ: Момент времени t, когда возвращающая сила впервые приняла значение F = +5 мН, составляет -π/4 (или -45 градусов), и соответствующая ему фаза φ колебания также равна -π/4 (или -45 градусов).