Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением ε = αt, где α = 2,0·10 2 рад /с3. Через, сколько времени после начала вращения полное ускорение произвольной точки тела будет составлять угол φ = 60° с ее скоростью?
Прежде чем мы начнем решать эту задачу, давайте вспомним некоторые основные понятия и формулы вращательного движения.
1. Угловое ускорение (ε): это величина, которая характеризует изменение скорости вращения тела и измеряется в радианах в секунду в квадрате (рад/с²).
2. Угловая скорость (ω): это величина, которая характеризует скорость вращения тела и измеряется в радианах в секунду (рад/с).
3. Угол поворота (θ): это величина, которая характеризует полное количество оборотов тела и измеряется в радианах (рад).
4. Ускорение (a): это векторная величина, которая характеризует изменение скорости тела и измеряется в метрах в секунду в квадрате (м/с²).
5. Радиус (r): это расстояние от оси вращения до произвольной точки тела и измеряется в метрах (м).
Теперь приступим к решению самой задачи.
По условию задачи, дано, что угловое ускорение твердого тела равно ε = αt, где α = 2,0·10^2 рад/с³.
Мы знаем, что угловое ускорение равно производной угловой скорости по времени: ε = dω/dt.
Для решения задачи нам необходимо узнать, через сколько времени после начала вращения полное ускорение произвольной точки тела будет составлять угол φ = 60° с ее скоростью.
Полное ускорение (a) вращающегося тела можно выразить через угловое ускорение (ε) и радиус (r) следующей формулой: a = ε · r.
У нас есть угловое ускорение (ε) и угол поворота (θ) в радианах, но нам нужен угол поворота в градусах. Для этого воспользуемся формулой перевода радианов в градусы: 1 рад = 180/π град.
Итак, у нас есть задача найти время (t), через которое полное ускорение произвольной точки тела будет составлять угол φ = 60° с ее скоростью.
Шаг 2: Найдите угловую скорость (ω).
Угловая скорость можно найти, проинтегрировав угловое ускорение по времени.
Основная формула для интегрирования: ω = ∫ε dt.
В данном случае у нас ε = αt, поэтому: ω = ∫(αt) dt.
Интегрируя, получим: ω = α/2 · t² + C.
Так как начальная угловая скорость равна нулю (ω(0) = 0), то C = 0.
Тогда у нас получается уравнение: ω = α/2 · t².
Шаг 3: Найдите радиус (r) произвольной точки тела.
Радиус (r) - это расстояние от оси вращения до произвольной точки тела.
Шаг 4: Найдите полное ускорение (a) произвольной точки тела.
Полное ускорение (a) равно произведению углового ускорения (ε) и радиуса (r): a = ε · r.
В данной задаче ε = αt, поэтому: a = αt · r.
Шаг 5: Найдите время (t).
Мы знаем, что когда полное ускорение составляет угол φ = 60° с угловой скоростью, то a = ε · r = ω² · r.
Подставим выражения для a и ω в это равенство:
αt · r = α/2 · t² · r².
Разделим обе части на αr:
t = α/2 · t² · r.
Шаг 6: Выразите время (t) из уравнения.
Разделим обе части уравнения на α/2 · r:
t = 2 · r / α.
Теперь у нас есть уравнение, в котором мы можем выразить время (t).
Шаг 7: Подставьте значения в уравнение и найдите результат.
Заменим α = 2,0·10^2 рад/с³ и решим уравнение для времени (t), чтобы найти его значение.
t = 2 · r / α = 2 · r / (2,0·10^2) = r / (1,0·10^2).
Таким образом, время, через которое полное ускорение произвольной точки тела будет составлять угол 60° с ее скоростью, равно r / (1,0·10^2) секунд.
1. Угловое ускорение (ε): это величина, которая характеризует изменение скорости вращения тела и измеряется в радианах в секунду в квадрате (рад/с²).
2. Угловая скорость (ω): это величина, которая характеризует скорость вращения тела и измеряется в радианах в секунду (рад/с).
3. Угол поворота (θ): это величина, которая характеризует полное количество оборотов тела и измеряется в радианах (рад).
4. Ускорение (a): это векторная величина, которая характеризует изменение скорости тела и измеряется в метрах в секунду в квадрате (м/с²).
5. Радиус (r): это расстояние от оси вращения до произвольной точки тела и измеряется в метрах (м).
Теперь приступим к решению самой задачи.
По условию задачи, дано, что угловое ускорение твердого тела равно ε = αt, где α = 2,0·10^2 рад/с³.
Мы знаем, что угловое ускорение равно производной угловой скорости по времени: ε = dω/dt.
Для решения задачи нам необходимо узнать, через сколько времени после начала вращения полное ускорение произвольной точки тела будет составлять угол φ = 60° с ее скоростью.
Полное ускорение (a) вращающегося тела можно выразить через угловое ускорение (ε) и радиус (r) следующей формулой: a = ε · r.
У нас есть угловое ускорение (ε) и угол поворота (θ) в радианах, но нам нужен угол поворота в градусах. Для этого воспользуемся формулой перевода радианов в градусы: 1 рад = 180/π град.
Итак, у нас есть задача найти время (t), через которое полное ускорение произвольной точки тела будет составлять угол φ = 60° с ее скоростью.
Шаг 1: Найдите угол поворота в радианах (θ).
Угол поворота равен φ = 60°. Переведем его в радианы: θ = φ · π/180.
θ = 60° · π/180 = π/3 рад.
Шаг 2: Найдите угловую скорость (ω).
Угловая скорость можно найти, проинтегрировав угловое ускорение по времени.
Основная формула для интегрирования: ω = ∫ε dt.
В данном случае у нас ε = αt, поэтому: ω = ∫(αt) dt.
Интегрируя, получим: ω = α/2 · t² + C.
Так как начальная угловая скорость равна нулю (ω(0) = 0), то C = 0.
Тогда у нас получается уравнение: ω = α/2 · t².
Шаг 3: Найдите радиус (r) произвольной точки тела.
Радиус (r) - это расстояние от оси вращения до произвольной точки тела.
Шаг 4: Найдите полное ускорение (a) произвольной точки тела.
Полное ускорение (a) равно произведению углового ускорения (ε) и радиуса (r): a = ε · r.
В данной задаче ε = αt, поэтому: a = αt · r.
Шаг 5: Найдите время (t).
Мы знаем, что когда полное ускорение составляет угол φ = 60° с угловой скоростью, то a = ε · r = ω² · r.
Подставим выражения для a и ω в это равенство:
αt · r = α/2 · t² · r².
Разделим обе части на αr:
t = α/2 · t² · r.
Шаг 6: Выразите время (t) из уравнения.
Разделим обе части уравнения на α/2 · r:
t = 2 · r / α.
Теперь у нас есть уравнение, в котором мы можем выразить время (t).
Шаг 7: Подставьте значения в уравнение и найдите результат.
Заменим α = 2,0·10^2 рад/с³ и решим уравнение для времени (t), чтобы найти его значение.
t = 2 · r / α = 2 · r / (2,0·10^2) = r / (1,0·10^2).
Таким образом, время, через которое полное ускорение произвольной точки тела будет составлять угол 60° с ее скоростью, равно r / (1,0·10^2) секунд.