скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю
поэтому
(а+в)(а-в)=а*а-в*в=|a|*|a|-|b|*|b|=0 => |a|*|a|=|b|*|b|=> |a|=|b|
пример
расположим квадрат на координатной плоскости так чтобы одна сторона квадрата лежала на оси ох а другая на оси оу. одна из вершин лежит в начале координат
построим вектор от начала координат до точки пересечения диагоналей квадрата. построим перпендикулярно ему второй вектор из точки пересечения диагоналей к вершине лежащей например на оси ох.
сумма полученных векторов совпадает с горизонтальной стороной квадрата, разность - с вертикальной.
Дано: L = 100 см; рₐ = 75 см рт. ст.; T = const
Найти: h - ?
Решение. Пусть площадь поперечного сечения трубки равна S.
После того, как трубку заткнули, в трубке осталось Vₐ = (L/2)S воздуха с давлением pₐ.
После того, как трубку вынули из ртути, объём воздуха внутри трубки изменился и стал равен V = (L - h)S. Предполагая процесс изотермическим, а газ идеальным, получаем pV = const и p = pₐ × Vₐ/V = pₐ × L/(2L - 2h) = pₐ × L/2(L - h)
Давление столба ртути и давление воздуха внутри трубки должны компенсировать атмосферное давление. Если p = pₐ + ρgh (ρgh - плотность ртути), то можно записать уравнение
pₐ × L/2(L - h) + h = pₐ
2h² + pₐL - 2pₐh - 2Lh = 0
2h² + 7500 - 150x - 200h = 0
h² - 175h + 3750 = 0
D = (-175)² - 4 × 1 × 3750 = 30625 - 15000 = 15625
x₁ = 25 см
х₂ = 150 см > L (не удов. смыслу задачи).
ответ: h = 25 см.