Question

Каким должен быть коэффициент трения однородного стержня о пол, чтобы он был в равновесии в положении, когда стержень удерживается нитью, длина которой равна длине стержня? угол между нитью и стержнем =90 градусов. точки а и с(т.е. концы стержня и нити соответственно) расположены на одной вертикали

Answer 1

Запишем баланс сил по оси Y: $mg = N + T*cos \alpha$
Для оси X: $T*sin \alpha = N*u$ где u - коэфициент трения. Запишем условие равенства моментов сил. Пусть ось вращения проходит черз точку А (как на рисунке). Тогда моменты сил трения и реакции опоры равны нулю.Само уравнение:
$mg* \frac{l}{2} *sin \alpha = Tl$, отсюда $T = \frac{mg*sin \alpha }{2}$
Подставляем результат для T  в первое уравнение (баланс сил по Y):
$mg = N + \frac{mg}{2} *sin \alpha *cos \alpha N = mg( 1 - \frac{sin2 \alpha }{4} )$ Так как из геометрических соображений $\alpha = \frac{ \pi }{4}$, то $N = \frac{3}{4} *mg$
Подставляем T и N во второе уравнение ( баланса для оси X) и получаем
$\frac{mg* sin^{2} \alpha }{2} = \frac{3}{4} mg$
Учитывая, что $sin^{2} \alpha = \frac{1}{2}$ и сократив все на mg получаем $u = \frac{1}{3}$