Question

Вертолет медленно поднимает стальной трос вертикально вверх. Когда в воздухе уже находится определенная длина троса, он под действием собственной тяжести обрывается. Такой же трос опускают в море. Во сколько раз длина троса, при которой произойдет его обрыв в воде, отличается от длины троса, при которой он обрывается в воздухе?

Answer 1

Запишем силы, действующие на трос в воздухе, спроецировав их на ось Ох, направленную вверх, и запишем 2-ой закон Ньютона:

$T-F_T = m_1a\\T - m_1g = m_1a\\a = 0 \longrightarrow T - m_1g = 0$, где Т - сила натяжения нитки

Поскольку плотность воздуха значительно меньше за плотность воды, то силой Архимеда, которая действует в воздухе, можно принебречь.

Запишем векторно второй закон Ньютона и на трос в воде:

$T - F_T + F_A = m_2a\\T - mg + \rho_{H_2O}*g*V = m_2a\\a = 0 \longrightarrow T - m_2g + \rho_{H_2O}*g*V_2 = 0$

Выразим T из двух уравнений:

$T = m_1g\\T = m_2g - \rho*g*V_2$

Приравняем правые части:

$m_1g = m_2g - \rho_{H_2O}*g*V_2\\m_1 =m_2 - \rho_{H_2O}*V_2\\V_1*\rho = V_2 * \rho - \rho_{H_2O} * V_2\\S * h_1 * \rho = S * h_2 (\rho - \rho_{H_2O})\\h_1 \rho = h_2 (\rho - \rho_{H_2O})\\\dfrac{h_2}{h_1} = \dfrac{\rho}{\rho - \rho_{H_2O}}$

За плотность стали возьмем число 8000 кг/м³ для удобства исчислений

$\dfrac{h_2}{h_1} = \dfrac{8000}{8000-1000} = \dfrac{8}{7}$

[h₂/h₁] = (кг/м³)/(кг/м³) = 1

ответ: в 8/7 раза