В соответствии со специальной теорией относительности Эйнштейна, никакой материальный объект не может достичь скорости света. Тем не менее такая возможность есть - использование ускорителей в ЦЕРНе - в которых отдельные частицы вещества (например протоны, ядра атома водорода) разгоняются до 99.99999% скорости света.
Если две частицы, летящие в навстречу друг другу, столкнутся на таких скоростях, tогромное количество энергии, выделившейся при столкновении может быть преобразовано в материю. На этом принципе - преобразовании материи в энергию, основано производство энергии в атомных электростанциях. Все это - две стороны одного и того же уравнения, E=mc2.
где Е означает энергию, m - материю, и с - скорость света. Эта формула отражает материи превращаться в энергию. Более того, поскольку с2 представляет собой огромную величину, малого количества материи достаточно, чтобы произвести гигантское количество энергии.
Такое превращение материи в энергию не есть всего лишь гипотетическая возможность, оно лежит в основе производства атомной энергии; Хиросима и Нагасаки были разрушены мощными атомными бомбами — а с другой стороны, миллионы семей пользуются электричеством, полученным в результате использования того же процесса в мирных целях. Теория "большого взрыва" построена на том, что эйнштейновская формула действует в обоих направлениях: не только материю можно превратить в энергию, но и энергия может быть превращена в материю. Хотя для производства даже малого количества материи требуется огромное количество энергии, запас ее в первичном сгустке был столь грандиозен, что он послужил источником всей материи, существующей ныне во Вселенной.
Дано:
m = 300 г = 0,3 кг
h = 1,5 м
k = 100 Н/м
g = 10 м/с²
A - ?
При решении задачи мы пренебрегаем массой чаши и пружины. Высота, с которой тело падает, на самом деле не h, а (h + L), где L - это длина пружины. Но пружина не может сжаться так, чтобы материально исчезнуть - она не может сжаться на всю свою длину. Она сожмётся на длину х. Тогда и возьмём в качестве нулевого потенциала тела ту точку, в которой пружина сожмётся на длину х. Тогда высота, с которой тело падает, будет равна (h + x). Теперь проанализируем превращения энергии. Силы трения воздуха не берём в расчёт. В начале тело обладает механической энергией, которая равна потенциальной энергии Еп:
Е = Еп = mg(h + x)
По закону сохранения механическая энергия остаётся неизменной. Когда тело касается чаши, оно обладает потенциальной энергией Еп' и кинетической энергией Ек, что в сумме даёт механическую энергию Е:
Е' = Еп' + Ек = mgx + mυ²/2
Нетрудно догадаться, что кинетическая энергия будет равна потенциальной при высоте h (разности Еп и Еп'):
Т.к. Е = Е', то:
mg(h + x) = mgx + mυ²/2
mgh + mgx = mgx + mυ²/2 | + (-mgx)
mgh = mυ²/2 => Eк = Еп - Еп'
Тогда механичесая энергия тела в момент его падения на чашу равна:
Е' = mgx + mgh
Эта энергия по мере движения тела до нулевого потенциала превращается в потенциальную энергию пружины Wп:
Е' = Wп
Wп = kx²/2 => mgx + mgh = kx²/2 - отнимаем от обеих частей уравнения значение потенциальной энергии пружины и решаем квадратное уравнение через дискриминант:
-kx²/2 + mgx + mgh = 0 | *(-1)
kx²/2 - mgx - mgh = 0
(k/2)*x² - mg*x - mgh = 0
D = b² - 4ac = (-mg)² - 4*(k/2)*(-mgh) = m²g² + 2kmgh = mg*(mg + 2kh)
x = (-b+/-√D) : (2a)
x1 = (mg + √(mg*(mg + 2kh))) : (2*(k/2)) = (mg + √(mg*(mg + 2kh))) : k
Второй корень получается бессмысленным, т.к. разность (mg - √(mg*(mg + 2kh))) получается отрицательной, ведь если представить, что mg = 1, то получится (1 - √(1*(1 + 2kh))) = 1 - 1*√(1 + 2kh) - из единицы вычитаем число, гораздо большее единицы, учитывая, что k и h > 1. Результат выходит отрицательным, а отрицательное значение x противоречит нашему уравнению для механической энергии - общая высота (h + x) не может быть < h. Значит, берём первый корень:
x = (mg + √(mg*(mg + 2kh))) : k
Но это не амплитуда колебаний. Амплитуда колебаний тела - это максимальное отклонение тела от положения равновесия. А положение равновесия тела будет при условии, что сила упругости равна весу тела:
Fупр = Р, т.е.:
kΔx = mg - таким образом, положение равновесия определяется сжатием пружины на определённую длину Δх. А ведь тело падало на пружину, которая находилась в свободном состоянии. Значит найденный корень - это не амплитуда. Тогда, если при падении тела пружина от свободного состояния сжалась на длину x, а при равновесии она сжимается на длину Δх, то надо просто отнять второе от первого - разность (x - Δx) и будет являться амплитудой:
kΔx = mg => Δx = mg/k
А = x - Δx = ((mg + √(mg*(mg + 2kh))) : k) - mg/k = mg/k + (√(mg*(mg + 2kh)))/k - mg/k = √(mg*(mg + 2kh))/k = √(m²g² + 2mgkh)/k = √(0,3²*10² + 2*0,3*10*100*1,5)/100 = √909/100 = 0,301496... = приблизительно 30,15 см
Можно получить такой же результат по-другому - через теорему об изменении кинетической энергии (сумма работ всех действующих сил на тело или систему тел равна изменению кинетической энергии тела или системы тел). За нулевой потенциал возьмём чашу пружины, тогда механическая энергия тела будет равна его потенциальной на высоте h. При падении тело будет иметь только кинетическую энергию, т.е.:
Е = Еп, но т.к. потенциальная перетекает в кинетическую, то Е' = Ек, а т.к. по закону сохранения энергии Е = Е', то Еп = Ек.
Ну а дальше кинетическая энергия изменяется до нуля, а изменяют её средняя сила упругости, работа которой отрицательна и равна:
A1 = Fупр(cp)*s = -(kx1 + kx2)/2*(x2 - x1) = -(k/2)*(x2 + x1)*(x2 - x1) = -(k/2)*(x2² - x1²), т.к. x1 = 0 (в этой точке сила ещё не совершала работы), то x2 = x и => А1 = -kx²/2,
и сила тяжести, работа которой положительна и равна:
А2 = mg*(x2 - x1) = mgx
Тогда выходит:
ΣА = ΔЕк = Ек2 - Ек1 = 0 - Ек1 = - Ек1
ΣA = A1 + A2 = -kx²/2 + mgx
Ек1 = Ек = Еп = mgh =>
=> -kx²/2 + mgx = - mgh
-kx²/2 + mgx + mgh = 0 | *(-1)
kx²/2 - mgx - mgh = 0 - то же самое квадратное уравнение.
ответ: приблизительно 30,15 см.