Question

А) Вычислите ускорение, испытываемое двумя весами, показанными на рисунке. Учитывая две массы m1 = 0,5 кг и m2 = 1 кг. Угол наклона плоскости равен 30°. Коэффициент трения между массой (1) и плоскостью равен 0,2. б) Рассчитайте натяжение кабеля, вес которого мы считаем незначительным.

Answer 1

Дано:

m1 = 0,5 кг

m2 = 1 кг

α = 30°

μ = 0,2

g = 10 м/с²

а, Т - ?

а) Предполагается, что кабель не растягивается. Тогда ускорения грузов одинаковы:

а1 = а2 = а

Кроме того, "frictionless pulley" - блок без трения. Значит, его вес не учитывается. И значит силы, действующие на блок (а это силы натяжения кабеля Т1 и Т2), равны. Он просто меняет направление силы, действие которой передаётся кабелем от одного груза к другому (по Третьему закону Ньютона).

Укажем направление сил для каждого груза. Для первого груза ось Х направим параллельно плоскости и вправо, тогда ось Υ - перпендикулярно ей и вверх. Для второго груза используем только ось Υ и направим её вниз. На первый груз действуют сила трения Fтр (направлена против оси Х), сила тяжести m1g (направлена строго вниз, перпендикулярно поверхности, на которой расположена наклонная плоскость), сила реакции опоры N (направлена перпендикулярно плоскости) и сила натяжения кабеля Т1 (направлена параллельно плоскости вправо). На второй груз действуют сила натяжения нити Т2 (направлена вверх, против оси Y) и сила тяжести m2g (направлена вниз). Оба груза движутся с ускорением а. Тогда составим уравнения по Второму закону Ньютона, учитывая, что Т1 = Т2 = Т.

Для первого груза - в проекциях на оси:

ОХ: Т - Fтр - m1g*sinα = m1a

OY: N - m1g*cosα = 0 => N = m1g*cosα

Fтр = μN = μm1g*cosα => T - μm1g*cosα - m1g*sinα = m1a

Для второго груза:

ОY: m2g - T = m2a

Теперь выразим силу натяжения кабеля из каждого уравнения и приравняем выражения друг к другу:

Т = m1a + μm1g*cosα + m1g*sinα

Τ = m2g - m2a

m1a + μm1g*cosα + m1g*sinα = m2g - m2a

m1a + m2a = m2g - m1g*sinα - μm1g*cosα

a*(m1 + m2) = m2g - m1g*(sinα + μcosα)

a = (m2g - m1g*(sinα + μcosα)) : (m1 + m2) = (1*10 - 0,5*10*(sin30° + 0,2*cos30°)) : (0,5 + 1) = (10 - 5*(0,5 + 0,2*√3/2)) : 1,5 = 4,42... = 4,4 м/с²

б) Поделим первое уравнение на второе и выразим Т:

m1a/m2a = (T - μm1g*cosα - m1g*sinα) : (m2g - T)

m1*(m2g - T) = m2*(T - μm1g*cosα - m1g*sinα)

m1m2g - Tm1 = Tm2 - m2*μm1g*cosα - m2*m1g*sinα

Tm2 + Tm1 = m1m2g + m2*μm1g*cosα + m2*m1g*sinα

T*(m1 + m2) = m1m2g*(1 + μcosα + sinα)

Τ = m1m2g*(1 + μcosα + sinα)/(m1 + m2) = 0,5*1*10*(1 + 0,2*√3/2 + 0,5)/(0,5 + 1) = 5*(1,5 + 0,2*√3/2)/1,5 = 5,57... = 5,6 H

ответ: 4,4 м/с², 5,6 Н.