Question

Функция sinx приближается на отрезке [0,п/4] Интерполяционным многочленом по значениям в точках 0,п/8,п/4. Оценить погрешность интерполяции на этом отрезке

Answer 1

Для оценки погрешности интерполяции на отрезке [0, п/4] воспользуемся формулой остаточного члена интерполяционного многочлена:

Rn(x) = f^(n+1)(ξ) * (x - x0)(x - x1)...(x - xn) / (n+1)!

где Rn(x) - остаточный член n-ой степени интерполяционного многочлена, f^(n+1)(ξ) - производная (n+1)-го порядка функции f(x) в точке ξ, x0, x1, ..., xn - значения узлов интерполяции.

Для данного случая у нас есть три узла интерполяции: x0 = 0, x1 = п/8, x2 = п/4, и функция f(x) = sin(x).

Сначала найдем значения функции sin(x) в узлах интерполяции:
f(0) = sin(0) = 0,
f(п/8) = sin(п/8),
f(п/4) = sin(п/4) = 1/√2.

Теперь найдем производную sin(x):
f'(x) = cos(x).

Оценим погрешность интерполяции на отрезке [0, п/4] с помощью формулы остаточного члена.

В данном случае n = 2, так как мы используем интерполяционный многочлен второй степени.
То есть, мы используем узлы x0, x1, x2 и значение функции в этих узлах для построения интерполяционного многочлена второй степени.

Подставим значения:
R2(x) = f'''(ξ) * (x - x0)(x - x1)(x - x2) / (3!) =
= f'''(ξ) * (x - 0)(x - п/8)(x - п/4) / 6,
где ξ - некоторая точка на отрезке [0, п/4].

Для нахождения верхней границы погрешности оценим модуль f'''(ξ) на данном отрезке.
f'''(x) = -sin(x),
f'''(ξ) принимает максимальное значение на [0, п/4] при ξ = п/4.

Таким образом, f'''(ξ) = -sin(п/4) = -1/√2.

Подставим значения в формулу остаточного члена:
R2(x) = (-1/√2) * (x - 0)(x - п/8)(x - п/4) / 6.

Теперь оценим погрешность интерполяции на отрезке [0, п/4] в точке x = п/4.

Подставим x = п/4 в формулу остаточного члена:
R2(п/4) = (-1/√2) * (п/4 - 0)(п/4 - п/8)(п/4 - п/4) / 6 =
= (-1/√2) * (п/4 - 0)(п/4 - п/8) * 0 / 6 =
= 0.

Таким образом, погрешность интерполяции на отрезке [0, п/4], оцененная с помощью интерполяционного многочлена второй степени по значениям f(0), f(п/8), f(п/4), равна 0.