Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени задается уравнением v = At (А = 0,3 м / с2). Определить момент времени, для которого вектор полного ускорения (а) образует с радиусом колеса угол φ = 45 °.
1. Вектор полной скорости (v) точки, движущейся по окружности радиусом R, связан с угловой скоростью (ω) и радиус-вектором (r) следующим образом: v = ω × r, где × обозначает векторное произведение.
2. Угловая скорость (ω) связана с линейной скоростью (v) следующим образом: ω = v / R.
3. Вектор полного ускорения (а) точки, движущейся по окружности, представляет собой сумму центростремительного ускорения (ац) и тангенциального ускорения (ат): а = ац + ат.
Из данных в задаче у нас имеется зависимость линейной скорости v от времени t, выраженная уравнением v = At, где А = 0,3 м/с^2.
Теперь мы можем перейти к решению задачи пошагово:
Шаг 1: Найдем угловую скорость (ω).
Используем формулу: ω = v / R.
Подставим значение линейной скорости, которая в данном случае равна At: ω = At / R = (0,3 м/с^2) × (t сек) / (0,1 м) = 3t рад/с.
Шаг 2: Теперь нам нужно найти вектор полного ускорения (а).
Разложим вектор полной скорости (v) на его составляющие: ац и ат.
Из геометрии известно, что вектор ац направлен в радиальном направлении (или вдоль радиуса колеса), а ат направлен в касательном направлении (или касается окружности).
Таким образом, v = vц + vт.
Шаг 2.1: Найдем ац.
Согласно уравнению, vц = ω × r.
r в данном случае равно радиусу диска R.
Тогда vц = (3t рад/с) × (0,1 м) = 0,3t м/с.
Шаг 2.2: Найдем ат.
В данной задаче ат = A, так как линейная скорость точек на ободе диска пропорциональна времени t с коэффициентом А.
Тогда, ат = A = 0,3 м/с^2.
Теперь мы можем суммировать ац и ат для получения вектора полного ускорения (а).
Шаг 3: а = ац + ат.
ац = 0,3t м/с,
ат = 0,3 м/с^2.
Тогда, а = (0,3t м/с) + (0,3 м/с^2).
Шаг 4: Найдем момент времени, для которого вектор полного ускорения а образует угол φ = 45° с радиусом колеса.
Для этого мы можем использовать следующую формулу, связывающую угол φ и вектор полного ускорения а:
φ = arctan (ат / ац).
Подставим значения ац и ат, полученные в предыдущем шаге, в формулу:
φ = arctan ((0,3 м/с^2) / (0,3t м/с)).
Теперь найдем момент времени t, соответствующий φ = 45°, подставив φ = 45° в формулу и решив уравнение:
45° = arctan ((0,3 м/с^2) / (0,3t м/с)).
Применяем тригонометрические свойства для нахождения значения t:
tan(45°) = (0,3 м/с^2) / (0,3t м/с).
1 = (0,3 м/с^2) / (0,3t м/с).
0,3t = 0,3 м/с^2.
t = 1 с.
Таким образом, момент времени, для которого вектор полного ускорения а образует угол φ = 45° с радиусом колеса, составляет 1 секунду.