Однородный горизонтальный диск массой 0,5 кг и радиусом 0,4 м раскрутили до угловой скорости 10 рад/с вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. На диск в точку, удалённую от центра на расстояние 0,2 м, с малой высоты падает небольшое тяжелое тело массой 1 кг и прилипает к диску. Вычислите величину конечной кинетической энергии системы.
1. Начнем с рассмотрения закона сохранения момента импульса: момент импульса системы до и после столкновения должен оставаться постоянным.
Момент импульса диска до столкновения:
L1 = I * ω1,
где L1 - момент импульса диска до столкновения,
I - момент инерции диска,
ω1 - угловая скорость диска до столкновения.
Момент импульса системы после столкновения:
L2 = (I + m * r^2) * ω2,
где L2 - момент импульса системы после столкновения,
m - масса тела,
r - расстояние от центра диска до точки столкновения,
ω2 - угловая скорость системы после столкновения.
Так как момент импульса системы должен сохраняться, мы можем записать:
I * ω1 = (I + m * r^2) * ω2.
2. Теперь рассмотрим закон сохранения энергии системы:
Кинетическая энергия диска до столкновения:
E1 = (1/2) * I * ω1^2.
Кинетическая энергия системы после столкновения:
E2 = (1/2) * (I + m * r^2) * ω2^2 + (1/2) * m * v^2,
где v - линейная скорость тела после столкновения.
Так как энергия системы должна сохраняться, мы можем записать:
E1 = E2.
3. Теперь решим систему уравнений, полученную из законов сохранения момента импульса и энергии:
I * ω1 = (I + m * r^2) * ω2,
(1/2) * I * ω1^2 = (1/2) * (I + m * r^2) * ω2^2 + (1/2) * m * v^2.
4. Подставим известные значения и решим полученную систему уравнений:
Для диска:
I = (1/2) * m * r^2,
ω1 = 10 рад/с.
Для тела:
m = 1 кг,
r = 0,2 м.
Используя эти значения, подставим в систему уравнений и решим ее:
(1/2) * ((1/2) * m * r^2) * (10 рад/с) = (1/2) * ((1/2) * m * r^2 + m * r^2) * ω2 + (1/2) * m * v^2.
(1/4) * m * r^2 * 10 = (1/4) * m * r^2 * ω2 + (1/2) * m * v^2.
2 = ω2 + (1/2) * (v^2 / r^2).
Учитывая, что ω2 = v / r, мы можем преобразовать уравнение:
2 = v / r + (1/2) * (v^2 / r^2).
Перейдем к квадратному уравнению:
4 = 2 * v + v^2 / r,
v^2 / r - 2 * v + 4 = 0.
Решая это квадратное уравнение, получаем два значения v1 = r и v2 = 2 * r.
5. Подставим значения скоростей v1 и v2 в уравнение для кинетической энергии системы после столкновения E2:
E2 = (1/2) * ((1/2) * m * r^2 + m * r^2) * (v1^2 / r^2) + (1/2) * m * v1^2,
E2 = (1/2) * ((1/2) * m * r^2 + m * r^2) * (r^2 / r^2) + (1/2) * m * r^2,
E2 = (1/2) * (3/2 * m * r^2) + (1/2) * m * r^2,
E2 = (3/4) * m * r^2 + (1/2) * m * r^2,
E2 = (5/4) * m * r^2.
6. Таким образом, величина конечной кинетической энергии системы равна (5/4) * m * r^2.
Подставляя известные значения, получаем конечный результат:
E2 = (5/4) * 1 кг * (0,2 м)^2,
E2 ≈ 0,025 Дж.
Таким образом, конечная кинетическая энергия системы составляет около 0,025 Дж.