Часть 1. Идеальный газ находится в вертикальном теплоизолированным цилиндре, закрытом сверху подвижным поршнем площадью S. массой которого можно пренебречь. Газ, в начальном состоянии имеет параметры Po, Vo, То. Сверху поршня поставили две гири массой т каждая и освободили. Предположим, что при определенных значениях давления, объема и температуры ускорение поршня равно нулю. Найдите эти значения р1, V1 и Т1. Атмосферным давлением, теплообменом, потерями тепла и трением поршня о стенки цилиндра можно пренебречь. Гири не отрываются от поршня во время движения. Ускорение свободного падения равно g. Часть 2. Через некоторое время движение поршня прекратилось. Одну гирю сняли на долгое время, затем поставили обратно и вновь подождали установления равновесия. Найдите разность температур газа до снятия одной гири и после того, как ее поставили обратно на поршень.
Для решения данной задачи нам потребуется применить закон Бернулли для газа. Закон Бернулли устанавливает связь между давлением, скоростью и высотой жидкости или газа.
Рассмотрим сначала первоначальное состояние газа.
Пусть Pо - давление газа в начальном состоянии, Vо - объем, То - температура. До постановки гирь давление газа равно атмосферному давлению. Газ находится в равновесии, то есть его ускорение равно нулю.
После постановки гирь происходит изменение давления газа под поршнем.
Обозначим P1 - новое давление газа, V1 - новый объем газа, Т1 - новая температура газа.
Давление газа можно найти, применив закон Бернулли:
P0 + ρgh = P1 + 1/2ρv^2
где ρ - плотность газа, h - высота поднятия поршня, v - скорость газа при подъеме поршня.
Так как ускорение поршня равно нулю, то и ускорение газа также равно нулю. Это означает, что сумма всех сил, действующих на газ, равна нулю.
Сила, действующая на газ со стороны гирь, определяется массой гирь и ускорением свободного падения:
F = 2m*g
Сила, действующая на газ со стороны поршня, определяется разностью давлений:
F = S*(P0 - P1)
Приравниваем эти две силы и находим P1:
2m*g = S*(P0 - P1)
откуда P1 = P0 - 2m*g/S
Теперь можем найти новый объем газа V1.
Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа:
P0*V0/T0 = P1*V1/T1
заменив P1, находим:
P0*V0/T0 = (P0 - 2m*g/S)*V1/T1
Теперь можем найти новую температуру газа Т1. Для этого воспользуемся законом Гей-Люссака:
P1/T1 = P0/T0
заменив P1, получаем:
(P0 - 2m*g/S)/T1 = P0/T0
откуда Т1 = (P0 - 2m*g/S) * T0 / P0
Таким образом, мы получили значения давления газа P1, объема газа V1 и температуры газа Т1 в новом состоянии после постановки гирь.
Часть 2:
Теперь рассмотрим вторую часть задачи, где снимается одна из гирь и вновь ставится на поршень.
После снятия гири давление газа вновь снижается:
P2 = P1 + 2mg/S
После постановки гири обратно на поршень давление газа восстанавливается:
P3 = P2 - 2mg/S = P1
Теперь нам нужно найти разность температур газа до снятия гири и после постановки гири обратно.
Для этого воспользуемся законом Гей-Люссака:
P2/T2 = P1/T1
P3/T3 = P1/T1
разделим эти два уравнения:
T3/T2 = P3/P2
заменим значения давлений и получим:
T3/T2 = P1/(P1 + 2mg/S)
откуда разность температур газа ΔT = T3 - T2:
ΔT = T2*(P1/(P1 + 2mg/S) - 1)
Таким образом, мы нашли разность температур газа до снятия гири и после постановки гири обратно на поршень.