Шарик погрузили в вязкую с плотностью меньшей, чем плотность шарика, и отпустили. Установившаяся скорость движение в этой оказалась U1 =10 см/с. Затем этот эксперимент повторили с тем же шариком , но с другой жидкостью такой же плотности, как и первая. Установившаяся скорость движения шарика во второй оказалась U2=6см/с. Считая силу прямо пропорциональной скорости движения шарика , найди соотношение коофицентов сопротивления k2/k1 при движения шарика в этих жидкостях. Результат округли до десятичных долях
F = 6πηrv,
где F - сила сопротивления,
π - число Пи,
η - коэффициент вязкости жидкости,
r - радиус шарика,
v - скорость движения шарика.
Мы знаем, что силу пропорциональную скорости движения шарика можно записать как:
F = kv,
где k - коэффициент сопротивления для данной жидкости.
Сравнивая два уравнения, мы можем выразить коэффициент вязкости жидкости через коэффициент сопротивления:
6πηrv = kv,
η = (kv) / (6πvr).
Таким образом, мы можем записать соотношение коэффициентов вязкости для двух жидкостей:
η2 / η1 = [(k2v2) / (6πvr)] / [(k1v1) / (6πvr)],
где η1 и η2 - коэффициенты вязкости первой и второй жидкости соответственно,
k1 и k2 - коэффициенты сопротивления первой и второй жидкости соответственно,
v1 и v2 - скорости движения шарика в первой и второй жидкости соответственно.
Заменив значения скоростей и сократив общие множители, мы получим следующее выражение:
η2 / η1 = (k2 / k1) * (v2 / v1).
Теперь мы можем вычислить соотношение коэффициентов сопротивления:
k2 / k1 = (η2 / η1) * (v1 / v2).
Подставим известные значения: U1 = 10 см/с и U2 = 6 см/с.
v1 = U1 = 10 см/с = 0.1 м/с,
v2 = U2 = 6 см/с = 0.06 м/с.
Используем формулу для плотности:
ρ = m / V,
где ρ - плотность,
m - масса,
V - объем.
Так как у нас шарик, то можем записать плотность шарика как:
ρшарика = mшарика / Vшарика.
Подставим значение силы тяжести:
mg = F,
где m - масса,
g - ускорение свободного падения (около 9,8 м/с²).
Используя формулу для объема шарика:
Vшарика = (4/3)πr³,
где r - радиус шарика.
Таким образом, можем выразить массу и объем шарика через плотность:
mшарика = ρшарика * Vшарика,
mшарика = ρшарика * (4/3)πr³.
Заменим в выражении для плотности шарика значение массы:
ρшарика = (mшарика / ((4/3)πr³)).
Получаем следующую формулу:
mшарика * g = kv,
(mшарика / ((4/3)πr³)) * g = kv,
(mшарика * g) / ((4/3)πr³) = kv,
(mшарика * g) = (kv) * (4/3)πr³,
(3mg) / (4πr³) = kv,
mg / (4/3πr³) = kv,
mg / Vшарика = kv,
(mg)Vвязка = (kv)Vшарика.
Из этой формулы мы можем выразить квадратный корень из отношения объемов:
√(Vвязка / Vшарика) = kv / mg.
Теперь можем заменить отношение объемов через плотности:
√(ρвязка / ρшарика) = kv / mg.
Также заменим отношение коэффициентов сопротивления через отношение скоростей:
√(ρвязка / ρшарика) = (v2 / v1) * (√(ρ2 / ρ1)).
Теперь выразим отношение плотностей через отношение коэффициентов сопротивления:
(ρвязка / ρшарика) = ((v2 / v1) * (√(ρ2 / ρ1)))²,
(ρвязка / ρшарика) = ((v2 / v1)²) * (ρ2 / ρ1),
(ρвязка / ρшарика) = ((0.06 / 0.1)²) * (ρ2 / ρ1),
(ρвязка / ρшарика) = (0.6)² * (ρ2 / ρ1),
(ρвязка / ρшарика) = 0.36 * (ρ2 / ρ1).
Теперь мы можем выразить отношение коэффициентов сопротивления через отношение плотностей:
k2 / k1 = (ρвязка / ρшарика) / 0.36,
k2 / k1 = (ρ2 / ρ1) / 0.36.
Используя известные значения плотности шарика (ρшарика), мы можем заменить значение ρшарика / ρ1 на константу:
c = ρшарика / ρ1.
Теперь мы можем записать окончательное соотношение для коэффициентов сопротивления:
k2 / k1 = c / 0.36.
Используя значение c = 1 и округляя результат до десятичных долей, получаем:
k2 / k1 = 1 / 0.36 = 2.78.
Таким образом, соотношение коэффициентов сопротивления k2/k1 при движении шарика в этих жидкостях составляет 2.78.