Question

19. Диск без проковзування котиться по горизонтальній поверхні. Швидкість центра диска о. Установіть відпо дність між модулями лінійних швидкостей точок на ободі диска відносно землі та відповідними точками рисунку с подробным решением файл с вопросами прикрепил

Answer 1

Диск является твердым телом. Поэтому (по формуле Эйлера) скорость $v_{1}$ верхней точки$\vec{v}_{1} = \vec{v}_{0}+\vec{\omega}\times\vec{r} = 0+\left(\begin{array}{ccc}0\\0\\-\dfrac{v}{r}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}0\\2d\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}-2v\\0\\0\end{array}\right)\Rightarrow v_{1} = 2v$(здесь мы использовали, что нижняя точка -- является мгновенной осью вращения при движении без проскальзывания).

Скорость $v_{2}$ точки Г: $\vec{v}_{2} = \vec{v}_{C} + \vec{\omega}\times \vec{r} = \vec{v}+\left(\begin{array}{ccc}0\\0\\-\dfrac{v}{r}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}\dfrac{r}{\sqrt{2}}\\\dfrac{r}{\sqrt{2}}\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}v+v/\sqrt{2}\\v/\sqrt{2}\\0\end{array}\right)\Rightarrow v_{2} = \sqrt{2+\sqrt{2}}v$

Скорость $v_{3}$ точки Б: $\vec{v}_{3} = \vec{v}_{C}+\vec{\omega}\times\vec{r} = \vec{v}+\left(\begin{array}{ccc}0\\0\\-\dfrac{v}{r}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}r\\0\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}v\\-v\\0\end{array}\right)\Rightarrow v_{3} = \sqrt{2}v$.

Скорость $v_{4}$ точки Д: $\vec{v}_{4} = \vec{v}_{C}+\vec{\omega}\times\vec{r} = \vec{v}+\left(\begin{array}{ccc}0\\0\\-\dfrac{v}{r}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}\dfrac{r}{\sqrt{2}}\\-\dfrac{r}{\sqrt{2}}\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}v-v/\sqrt{2}\\-v/\sqrt{2}\\0\end{array}\right)\Rightarrow v_{3} = \sqrt{2-\sqrt{2}}v$