Question

Определите частоту малых колебаний частицы массы m вблизи точки равновесия в потенциальном поле U = U0(1 – cos(bx)).

Answer 1

При малых отклонениях х функция cos(bx) принимает следующий вид (разложение в ряд Маклорена вблизи нуля): cos(bx) ≈ 1 - $\frac{(bx)^{2} }{2}$ = 1 - $\frac{b^{2} x^{2} }{2}$

⇒ потенциальная энергия будет выглядеть как:

U = U₀·(1 – cos(bx)) ≈ U₀·( 1 - 1 + $\frac{b^{2} x^{2} }{2}$ ) = U₀·$\frac{b^{2} x^{2} }{2}$, а кинетическая энергия:

Е = $\frac{mv^{2} }{2}$, где v = dx/dt = x' – скорость данной частицы. Далее согласно закону сохранения энергии для консервативных систем: Е + U = const, то есть сумма кинетической и потенциальной энергии неизменна во времени. Затем продифференцируем выражение Е + U = const по t:

$\frac{d}{dt} (E + U) = \frac{d}{dt} const = 0$, $\frac{d}{dt}$ (U₀·$\frac{b^{2} x^{2} }{2}$ + mv²/2) = 0 ⇒ U₀·2b²x·x'/2 + 2mv·v'/2 = 0

⇒ U₀·b²x·x' + mx'·x'' = 0 ⇒ x'·(U₀·b²x + m·x'') = 0 ⇒ U₀·b²·x + m·x'' = 0 ⇒

x'' + $\frac{b^{2}Uo}{m }$ ·x = 0 ⇔ x'' + ω²₀·x = 0 – получилось уравнение гармонических колебаний, где ω₀ - частота малых (собственных) колебаний ⇒

ω₀ = $\sqrt{\frac{b^{2}Uo }{m} } = |b|\sqrt{\frac{Uo}{m} }$