При малых отклонениях х функция cos(bx) принимает следующий вид (разложение в ряд Маклорена вблизи нуля): cos(bx) ≈ 1 - 
= 1 - 
⇒ потенциальная энергия будет выглядеть как:
U = U₀·(1 – cos(bx)) ≈ U₀·( 1 - 1 + ) = U₀·, а кинетическая энергия:
Е = 
, где v = dx/dt = x' – скорость данной частицы. Далее согласно закону сохранения энергии для консервативных систем: Е + U = const, то есть сумма кинетической и потенциальной энергии неизменна во времени. Затем продифференцируем выражение Е + U = const по t:
, 
(U₀· + mv²/2) = 0 ⇒ U₀·2b²x·x'/2 + 2mv·v'/2 = 0
⇒ U₀·b²x·x' + mx'·x'' = 0 ⇒ x'·(U₀·b²x + m·x'') = 0 ⇒ U₀·b²·x + m·x'' = 0 ⇒
x'' + 
·x = 0 ⇔ x'' + ω²₀·x = 0 – получилось уравнение гармонических колебаний, где ω₀ - частота малых (собственных) колебаний ⇒
ω₀ = 
Объяснение:
Итак, для решения этих задач мы всегда пользуемся следующей пропорцией:
Но для начала определим силу, с которой гиря действует на малый поршень: для этого пользуемся формулой F = mg, где m - масса тела; g - const, приблизительно равная 9,8 Н/кг или м/с2.
Величину g мы имеем право округлить до 10 Н/кг.
Итак, производим вычисление: F = 2 кг * 10 Н/кг = 20 Н (кг сократи).
Получаем, что сила F1 равна 20 Н.
Подставляем в пропорцию значения:
Из пропорции выразим F2:
F2 = 
Если возникли вопросы, как я выразил F2 - обращайся.
Производим вычисление:
F2 = 
см в квадрате сократятся, 50 и 5 сократятся, а в числителе от 50 останется 10.
20 Н * 10 = 200 Н.
Теперь вернемся к формуле F = mg
Из этой формулы выразим m:
m = 
Вычислим:
m = 
= 20 кг
ответ: m2 = 20 кг
Задача решена.
