Question

При преобразовании потенциала электрического заряда из точки с потенциалом 500 В в точку с потенциалом 200 В напряженность электрического поля составит 6 мДж. Определите величину заряда.

Answer 1

Электростатический потенциа́л — скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измерения потенциала в Международной системе единиц (СИ) является вольт (русское обозначение: В; международное: V), 1 В = 1 Дж/Кл (подробнее о единицах измерения — см. ниже).

Электростатический потенциал — специальный термин для возможной замены общего термина электродинамики скалярный потенциал в частном случае электростатики (исторически электростатический потенциал появился первым, а скалярный потенциал электродинамики — его обобщение). Употребление термина электростатический потенциал определяет собой наличие именно электростатического контекста. Если такой контекст уже очевиден, часто говорят просто о потенциале без уточняющих прилагательных.

Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

{\displaystyle \varphi ={\frac {W_{p}}{q_{p}}}.}{\displaystyle \varphi ={\frac {W_{p}}{q_{p}}}.}

Напряжённость электростатического поля {\displaystyle \mathbf {E} }\mathbf {E} и потенциал {\displaystyle \varphi }\varphi связаны соотношением[1]

{\displaystyle \int \limits _{A}^{B}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dl} =\varphi (A)-\varphi (B),}{\displaystyle \int \limits _{A}^{B}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dl} =\varphi (A)-\varphi (B),}

или обратно[2]:

{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi .}{\mathbf E}=-\nabla \varphi .

Здесь {\displaystyle \nabla }\nabla — оператор набла, то есть в правой части равенства стоит минус градиент потенциала — вектор с компонентами, равными частным производным от потенциала по соответствующим (прямоугольным) декартовым координатам, взятый с противоположным знаком.

Воспользовавшись этим соотношением и теоремой Гаусса для напряжённости поля {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\rho \over \varepsilon _{0}}}{\mathbf \nabla }\cdot {\mathbf E}={\rho \over \varepsilon _{0}}, легко увидеть, что электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона в вакууме. В единицах системы СИ:

{\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =-{\rho \over \varepsilon _{0}},}{\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =-{\rho \over \varepsilon _{0}},}

где {\displaystyle \varphi }\varphi — электростатический потенциал (в вольтах), {\displaystyle \rho } \rho — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а {\displaystyle \varepsilon _{0}}{\displaystyle \varepsilon _{0}} — электрическая постоянная (в фарадах на метр).