Из закона преломления
Sin α₁ = n Sin β₁ (n - коэффициент преломления)
Sin α₂ = n Sin β₂
Из геометрических вычислений:
180 - φ = 360 - α₁ - α₂ - (180 - γ) ⇒ φ = α₁ + α₂ - γ
γ = β₁ + β₂
С учетом того, что всегда присутствуют аберрации, нужно их минимизировать (между φ и α зависимость нелинейная). т.е. зависимость φ от α должна быть минимальной. Приравняем производную φ к нулю:
dφ = dα₁ + dα₂ ⇒ dα₁ = -dα₂
Дифференцируем остальные уравнения:
dβ₁ + dβ₂ = 0
Cos α₁ dα₁ = n Cos β₁ dβ₁
Cos α₂ dα₂ = n Cos β₂ dβ₂
откуда получим следующее:
Возводим в квадрат обе части и заменив углы β на α, пользуясь законом преломления, получим:
Искомое равенство удовлетворяется при α₁ = α₂, что соответствует минимуму угла φ. Из α₁ = α₂ следует, что β₁ = β₂. Таким образом, падающий и выходящий лучи симметричны по отношению к граням призмы.
Симметричный ход луча соответствует минимуму угла отклонения.
Прилагаю рисунок к ходу мыслей
http://s44.radikal.ru/i103/1207/fa/df6a5763cc0d.jpg
F=mg = 70кг*9,8м/с^2=686 Н
площадь опоры в ботинках S1=0,3 м * 0,1 м * 2 = 0,06 м^2
площадь опоры на лыжах S2=2,1 м * 0,1 м * 2 = 0,42 м^2
P1= F/S1 = 686 Н / 0,06 м^2 = 11,4 кПа
Р2=F/S2 = 686 Н / 0,42 м^2 = 1,63 кПа
Р1/Р2 = 11,4/1,63 = 7
Давление на лыжах уменьшилось в 7 раз.
Так же можно не находить P2, а просто сказать, что лыжа длинее ботинка в 7 раз (210/30=7), значит её площадь так же больше в 7 раз, значит давление на лыжах в 7 раз меньше (по первой формуле).