Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые формулы и понятия из теории колебаний.
Первым шагом, давайте определим формулы, которые нам понадобятся:
1. Добротность (q) lc-контура определяется следующим образом:
q = 2πf₀L/R,
где f₀ - резонансная частота контура,
L - индуктивность контура,
R - сопротивление контура.
2. Добротность (q) также может быть выражена через отношение максимальной амплитуды напряжения на конденсаторе (U₀) и максимального тока (I₀) в контуре:
q = ω₀L/R = U₀/I₀,
где ω₀ - угловая резонансная частота контура.
3. Частота контура (f) и угловая частота контура (ω) связаны следующей формулой:
ω = 2πf.
4. Длительность периода колебаний (T) и частота контура (f) связаны следующей формулой:
T = 1/f.
Теперь, приступим к решению задачи:
Дано:
q = 100,
амплитуда тока уменьшается в 9 раз.
Нам нужно найти число полных колебаний контура, за которое амплитуда тока уменьшится в 9 раз.
В данной задаче, нам дано значение добротности контура (q), и мы можем использовать формулу для добротности через отношение амплитуды напряжения на конденсаторе и амплитуды тока.
Из формулы (2), мы можем выразить максимальную амплитуду тока (I₀) через добротность:
I₀ = U₀/q.
Так как амплитуда тока уменьшается в 9 раз, то новая амплитуда тока (I₁) будет равна:
I₁ = I₀/9.
Теперь мы можем выразить оригинальную амплитуду напряжения на конденсаторе (U₀) через оригинальную амплитуду тока (I₀):
U₀ = I₀ * q.
А амплитуда напряжения на конденсаторе после уменьшения амплитуды тока на 9 раз будет равна:
U₁ = I₁ * q.
Мы знаем, что амплитуда напряжения на конденсаторе (U) связана с максимальной амплитудой тока (I₀) через индуктивность контура (L) и частоту контура (f₀) по формуле:
U = ω₀L * I₀.
Теперь мы можем записать соотношение для амплитуд до и после уменьшения амплитуды тока:
U₀ = ω₀L * I₀,
U₁ = ω₀L * I₁.
Так как значению добротности q соответствует резонансная частота f₀, мы можем переписать это уравнение как:
q = 2πfL,
fL = q / (2π).
Замечаем, что f = 1/T, где T - длительность периода колебаний.
Подставляем значение f в последнее уравнение:
(1/T) * L = q / (2π).
Выражая T через q, L и π, получаем:
T = (2πL) / q.
Значение T представляет собой длительность периода колебаний, и мы можем определить число полных колебаний за это время, разделив общую длительность времени на длительность периода колебаний:
n = t / T,
где n - число полных колебаний,
t - общая длительность времени.
Подставляем значение T в последнюю формулу:
n = t / ((2πL) / q).
Итак, мы получили формулу для определения числа полных колебаний в lc-контуре с известной добротностью q и общей длительностью времени t:
n = (t * q) / (2πL).
Это и есть окончательный ответ на поставленный вопрос. Чтобы определить число полных колебаний в lc-контуре с добротностью q = 100, за которое амплитуда тока уменьшится в 9 раз, необходимо вычислить (t * q) / (2πL), где t - общая длительность времени.
Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые формулы и понятия из теории колебаний.
Первым шагом, давайте определим формулы, которые нам понадобятся:
1. Добротность (q) lc-контура определяется следующим образом:
q = 2πf₀L/R,
где f₀ - резонансная частота контура,
L - индуктивность контура,
R - сопротивление контура.
2. Добротность (q) также может быть выражена через отношение максимальной амплитуды напряжения на конденсаторе (U₀) и максимального тока (I₀) в контуре:
q = ω₀L/R = U₀/I₀,
где ω₀ - угловая резонансная частота контура.
3. Частота контура (f) и угловая частота контура (ω) связаны следующей формулой:
ω = 2πf.
4. Длительность периода колебаний (T) и частота контура (f) связаны следующей формулой:
T = 1/f.
Теперь, приступим к решению задачи:
Дано:
q = 100,
амплитуда тока уменьшается в 9 раз.
Нам нужно найти число полных колебаний контура, за которое амплитуда тока уменьшится в 9 раз.
В данной задаче, нам дано значение добротности контура (q), и мы можем использовать формулу для добротности через отношение амплитуды напряжения на конденсаторе и амплитуды тока.
Из формулы (2), мы можем выразить максимальную амплитуду тока (I₀) через добротность:
I₀ = U₀/q.
Так как амплитуда тока уменьшается в 9 раз, то новая амплитуда тока (I₁) будет равна:
I₁ = I₀/9.
Теперь мы можем выразить оригинальную амплитуду напряжения на конденсаторе (U₀) через оригинальную амплитуду тока (I₀):
U₀ = I₀ * q.
А амплитуда напряжения на конденсаторе после уменьшения амплитуды тока на 9 раз будет равна:
U₁ = I₁ * q.
Мы знаем, что амплитуда напряжения на конденсаторе (U) связана с максимальной амплитудой тока (I₀) через индуктивность контура (L) и частоту контура (f₀) по формуле:
U = ω₀L * I₀.
Теперь мы можем записать соотношение для амплитуд до и после уменьшения амплитуды тока:
U₀ = ω₀L * I₀,
U₁ = ω₀L * I₁.
Делая подстановку значений, получаем:
I₀ * q = ω₀L * I₀,
I₁ * q = ω₀L * I₁.
Используя формулу (1) для добротности, можем продолжить выражение:
I₀ * q = ω₀L * I₀,
I₁ * q = (ω₀L) * I₁ = (2πf₀L) * I₁.
Объединяя два уравнения, получаем:
I₁ * q = 2πf₀L * I₁.
Упрощая, получаем:
q = 2πf₀L.
Так как значению добротности q соответствует резонансная частота f₀, мы можем переписать это уравнение как:
q = 2πfL,
fL = q / (2π).
Замечаем, что f = 1/T, где T - длительность периода колебаний.
Подставляем значение f в последнее уравнение:
(1/T) * L = q / (2π).
Выражая T через q, L и π, получаем:
T = (2πL) / q.
Значение T представляет собой длительность периода колебаний, и мы можем определить число полных колебаний за это время, разделив общую длительность времени на длительность периода колебаний:
n = t / T,
где n - число полных колебаний,
t - общая длительность времени.
Подставляем значение T в последнюю формулу:
n = t / ((2πL) / q).
Итак, мы получили формулу для определения числа полных колебаний в lc-контуре с известной добротностью q и общей длительностью времени t:
n = (t * q) / (2πL).
Это и есть окончательный ответ на поставленный вопрос. Чтобы определить число полных колебаний в lc-контуре с добротностью q = 100, за которое амплитуда тока уменьшится в 9 раз, необходимо вычислить (t * q) / (2πL), где t - общая длительность времени.