Question

На невесомой нерастяжимой нити длиной l=72 см висит небольшой шар массаой m=52г. пуля массой m =8,0 г, летящая со скоростью v, попадает в шар и застревает в нем. если скорость пули была направлена вдоль диаметра шара, то шар совершит полный оборот по окружности в вертикальной плоскости при минимальном значении модуля скорости v пули, м/с

Answer 1

При ударе пули о шар действует закон сохранения импульса. Обозначим скорость движения системы "шар+пуля" через v1, тогда
$mv=(M+m)v_1 \to v_1=v \frac{m}{M+m}=v \frac{8}{52+8}= \frac{2}{15}v$
Далее рассматриваем систему "шар+пуля" как материальную точку с массой m+M, обладавшую в начале своего движения кинетической энергией Eк1, а в верхей точке траектории - суммой кинетической энергии Ек2 и потенциальной Ер2.
По закону сохранения энергии Ек1=Ек2+Ер2:
$\frac{(M+m)v_1^2}{2}= \frac{(M+m)v_2^2}{2}+(M+m)*g*2l \to v_1^2=v_2^2+4gl$
Здесь v2 обозначен модуль проекции материальной точки на горизонтальную ось в верхней точке траектории (по-простому, её линейная скорость).
Для определения скорости v2 рассмотрим действующие на материальную точку силы.
Вниз действуют сила тяжести и натяжение нити, вверх - центробежная сила вращения.
Граничное условие, при котором тело не падает - это нулевое натяжение нити. Тогда:
$\frac{(M+m)v_2^2}{l}=(M+m)g \to v_2^2=gl$
Подставляя найденное значение квадрата скорости в предыдущее уравнение, получим:
$v_1^2=gl+4gl \to v_1= \sqrt{5gl}= \sqrt{5*10*0.72}=6 (_M/c)$
Далее находим скорость v из ранее полученного соотношения:
$v= \frac{15}{2}*v_1= \frac{15}{2}*6=45 (_M/c)$

Answer 2

в нижней точке закон сохранения импульса
M*0+mv=(M+m)u
v=u*(M+m)/m

в верхней точке скорость U по закону сохр энергии
(m+M)u^2/2=(m+M)U^2/2+(m+M)g*2*L
u=корень(U^2+4g*L)
v=u*(M+m)/m=корень(U^2+4g*L)*(M+m)/m

условие непадения в верхней точке
U^2/L=a >=g
критическая скорость U^2=L*g

v=корень(U^2+4g*L)*(M+m)/m=корень(L*g+4g*L)*(M+m)/m=корень(5g*L)*(M+m)/m
=корень(5*10*0,72)*(52+8)/8= 45 м/с = 162 км/ч - это ответ