Question

Определяя диаметр проволоки с штангенциркуля, измерения проводили четыре раза. были получены следующие результаты: d₁ = 3,2 мм, d₂ = 3,0 мм, d₃ = 3,2 мм, d₄ = 3,0 мм. считайте, что систематическая погрешность, обусловленная штангенциркулем, составляет 0,24 мм. 1. вычислите абсолютную погрешность измерения. ответ запишите в миллиметрах (мм). 2. вычислите относительную погрешность измерения штангенциркуля в процентах (%). ответ округлите до десятых.

Answer 1

Дано:

$d_{1} = 3,2$ мм

$d_{2} = 3$ мм

$d_{3} = 3,2$ мм

$d_{4} = 3$ мм

$\Delta x_{_{\Pi}} = 0,24$ мм

Найти:

$1. \ \Delta x - ?$

$2. \ \varepsilon_{x} - ?$

Решение. Погрешность (ошибка) измерения — разность между измеренным и истинным значениями измеряемой величины.

Погрешность при измерениях физических величин делят на два вида: случайные и систематические.  

Случайные погрешности связаны с процессом измерения.

Наиболее вероятное значение измеряемой величины ($x_{\text{cp}}$) равно среднему арифметическому значений, полученных в результате измерений:

$x_{\text{cp}} = \dfrac{d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4}}{4} = \dfrac{3,2+3+3,2+3}{4} = 3,1$ мм

Случайная абсолютная погрешность ($\Delta x_{\text{c}}$) — средняя ошибка, полученная в результате всех измерений, — вычисляется по формуле:

$\Delta x_{\text{c}} = \sqrt{\dfrac{(d_{1} - x_{\text{cp}})^{2} +(d_{2} - x_{\text{cp}})^{2} +(d_{3} - x_{\text{cp}})^{2} +(d_{4} - x_{\text{cp}})^{2}}{4} } = \\$

$= \sqrt{\dfrac{(3,2 - 3,1)^{2} +(3- 3,1)^{2} +(3,2 - 3,1)^{2} +(3 - 3,1)^{2}}{4} } = 0,1$ мм

Систематические погрешности связаны прежде всего с выбором прибора: невозможно найти рулетку с идеально точной разбивкой шкалы, абсолютно точные гири, идеально равноплечевые весы.

Различают абсолютную и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность результата измерения — это отклонение результата измерения от истинного значения физической величины. Абсолютная погрешность результата измерения показывает, на сколько максимально может ошибиться исследователь, правильно измеряя физическую величину.

Чтобы правильно оценить точность эксперимента, необходимо учитывать как систематическую погрешность, обусловленную прибором ($\Delta x_{_{\Pi}}$), так и случайную погрешность ($\Delta x_{\text{c}}$), обусловленную ошибками измерений. Эту суммарную погрешность называют абсолютной погрешностью измерения ($\Delta x$) и определяют по формуле:

$\Delta x = \sqrt{\Delta x_{_{\Pi}}^{2} + \Delta x_{\text{c}}^{2}} = \sqrt{0,24^{2} + 0,1^{2}} = 0,26$ мм

Насколько точно проведено измерение, более наглядно показывает относительная погрешность.

Относительная погрешность $\varepsilon_{x}$ характеризует количество измерения и равна отношению абсолютной погрешности ($\Delta x$) к среднему (измеренному) значению измеряемой величины ($x_{\text{cp}}$):

$\varepsilon_{x} = \dfrac{\Delta x}{x_{\text{cp}}} \cdot 100 \ \% = \dfrac{0,26}{3,1} \cdot 100 \ \% \approx 8,387096 \ \% \approx 8,4 \ \%$

ответ:  1. 0,26; 2. 8,4.