Question

Брусок массой m покоится на наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. к нему прикреплена недеформи-рованная пружина жесткостью k. какую работу а нужно совершить, чтобы сдвинуть с места брусок, растягивая пружину вдоль наклонной плоскости? коэффициент трения между бруском и плоскостью μ . ускорение свободного падения равно g.

Answer 1

Вычисление силы
Рассмотрим предельный случай, когда сила трения покоя максимальна и равна μN, где N - сила реакции. Возможны две ситуации, когда тянут пружину вверх или вниз.

Тянем пружину вверх:
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси, параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости.

Параллельно плоскости действует компонента силы тяжести mg sin α, сила трения μN и сила со стороны пружины F. Второй закон Ньютона:
F = mg sin α + μN

Перпендикулярно плоскости: компонента силы тяжести mg cos α и сила реакции опоры N
N = mg cos α

Подставляем значение N в первое уравнение:
F = mg sin α + μmg cos α = mg(sin α + μ cos α)

[Проверка на разумность ответа, крайние случаи:
- α = 0. Тогда, очевидно, F = μ mg
- α = π/2. Сила, как и стоило ожидать, равна mg]

Тянем пружину вниз:
Параллельно: F = -mg sin α + μN (теперь сила тяжести двигать, а не мешает)
Перпендикулярно: N = mg cos α

F = mg(μ cos α - sin α)
[Проверка на разумность ответа:
- μ = tg α, тогда F = 0
- α = 0, F = μmg
Заметим, что углы α > arctg μ не удовлетворяют условию: при больших углах брусок сам по себе не покоится, а съезжает вниз]

Вычисление работы по известной силе
Осталось по уже найденной силе F вычислить работу A. Работа полностью перешла в потенwиальную энергию растянутой пружины, равную U = kx^2 / 2, где x - растяжение пружины.
найти закон Гука F = kx, откуда x = F/k.
Подставляя x в формулу, получаем A = U = k/2 * (F/k)^2 = F^2 / 2k

Наконец, надо подставить уже найденные силы в полученную формулу.

ответ. Надо совершить работу, равную
$A_{\pm}=\dfrac{(mg\cos\alpha)^2}{2k}(\mu\pm\mathop{\mathrm{tg}}\alpha)^2$
где "+" соответствует тяге "вверх", а "-" - тяге "вниз"