Question

Решите . 1). модуль радиус-вектора, определяющего положение мухи, сидящей на стене, равен 5 м, а координата по оси ох, проведенной из угла комнаты вдоль пола, равна 2,5 м. определите, на какой высоте находится муха. 2). радиус-вектор, определяющий положение точки а на плоскости xoy, составляет угол 60° с осью ох. модуль вектора га равен 5 м. модуль радиус-вектора, определяющего положение точки в относительно точки а, равен 1,83 м, и его проекции на оси ох и oy равны соответственно 1,83 м и 0. определите модуль вектора гв и угол, который он составляет с осью ох. 3). сложите два вектора а и & , на- а правленные соответственно вдоль осей ох и oy. модули векторов равны 3 и 5,2 м. определите модуль полученного вектора и угол, который он составляет с осью ox. , .

Answer 1

Для всех трех задач вспомним, что радиус-вектор представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, а его проекции на оси координат -- катеты этот треугольника.

1) Известна гипотенуза и один из катетов, другой катет ищем по теореме Пифагора:

$r^2 = x^2 + y^2$

$y = \sqrt{r^2 - x^2}$

y = sqrt(5²-2,5²) м = 4,33 м

2) Известна гипотенуза и один из углов треугольника. Следовательно,

xA = rA * cos α = 5 м * cos 60° = 5 м * 1/2 = 2,5 м
yA = rA * sin α = 5 м * sin 60° = 5 м * sqrt(3) / 2 = 4,33 м

Складываем проекции вектора с проекциями радиус-вектора B относительно A:

xB = xA + xAB = 2,5 м + 1,83 м = 4,33 м
yB = yA + yAB = 4,33 м + 0 = 4,33 м

Радиус-вектор вычисляем через теорему Пифагора:

$r_B = \sqrt(x_B^2 + y_B^2)$

rB = sqrt(4,33² + 4,33²) м = sqrt(150/4) = 5/2 * sqrt(6) = 6,12 м

Поскольку xB = yB, то угол между вектором rB и осью Ox составляет 45°.

3) Известны оба катета треугольника, гипотенузу находим по теореме Пифагора:

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

r = sqrt(3² + 5,2²) м = 6 м

Чтобы вычислить угол с осью Ox, используем либо арксинус, либо арккосинус. В данном случае удобнее использовать арккосинус:

$\cos \alpha = \frac{x}{r}$

$\alpha = \arccos \frac{x}{r}$

α = arccos 3/6 = arccos 1/2 = 60°.