Question

Что произойдет с частотой вращения , если центростремительное ускорение уменьшится в 9 раз

Answer 1

Уменьшится в от 3 до 9 раз.
Как я  рассуждал. Мне ответ на вопрос показался неоднозначным, так как не указано в результате изменения каких параметров изменилось ускоорение.
Итак пусть материальная точка движется по окружности радиусом R с линейной скоростью v.
модуль центростремительного ускорения определяется выражением:
$a_c= \frac{v^2}{R}$  (1)
 Период вращения T равен:
$T= \frac{2 \pi R}{v}$  (2)
соответственно частота вращения f:
$f= \frac{1}{T} = \frac{v}{2 \pi R}$  (3)

Можно формулу для частоты вращения (3) переписать следующим образом (домножим числитель и знаменатель на v дробь не изменится ) и учтем (1):
$f= \frac{v}{2 \pi R} =\frac{v\cdot v}{2 \pi Rv} =\frac{v^2}{R2 \pi v}= \frac{a_c}{2 \pi v}$ (4)
Чтобы ускорение в формуле (1) уменьшилось в 9 раз можно либо в 9 раз увеличить радиус вращения, сохранив при этом линейную скорость, либо в 3 раза (скорость в квадрате!) снизить скорость, сохранив радиус, или применить комбинацию перечисленных "методов".
Рассмотрим 2 первых случая.
a) Увеличили радиус в 9 раз. Тогда  согласно  (1) новое ускорение:
$a_{c1}= \frac{v^2}{9*R}= \frac{a_c}{9}$  (5),
 что и требуется, а новая частота вращения f₁, согласно (4), (5):
 $f_1= \frac{a_c1}{2 \pi v} = \frac{a_c}{9v}=f/9$  (6)
Т.е. частота уменьшится в 9 раз

б) Теперь допустим что радиус постоянный и в 3 раза уменьшилась скорость. Тогда согласно (1) новое ускорение
$a_{c2}= \frac{(v/3)^2}{R}= \frac{v^2}{9R} = \frac{a_c}{9}$(7)
Тогда согласно (4), (7) и нашему предположению v₂=v/3:
$f_2= \frac{a_{c2}}{2 \pi v_2} =\frac{a_{c}/9}{2 \pi v_/3} = \frac{a_c}{2 \pi v} \cdot \frac{1}{3} = \frac{f}{3}$

Т.е. частота уменьшится всего в 3 раза.
Такой результат кстати сразу из формулы (3) можно было получить.