Question

Продолжаем. ядро вылетает из пушки с начальной скоростью 200 м/с под углом 80 градусов к горизонту. через какое время радиус-вектор, соединяющий пушку с ядром, будет перпендикулярен траектории снаряда? сопр. пренебрегаем.

Answer 1

Можно делать задачу что называется "врукопашную", как предлагает польз. Эникей, а можно ее немного погипнотизировать и обнаружить, что на самом деле от нас хотят узнать, когда радиус-вектор становится перпендикулярным вектору скорости.
Так и напишем. В прямоугольных координатах:
$\vec r= \left(\begin{array}{ccc}v_0t\cos\alpha\\v_0t\sin\alpha-\dfrac 12 gt^2\end{array}\right)$
$\vec v= \left(\begin{array}{ccc}v_0\cos\alpha\\v_0\sin\alpha-gt\end{array}\right)$
А мы хотим, чтобы эти два вектора были перпедикулярны, то есть, чтобы $\vec r\cdot\vec v\equiv r_xv_x+r_yv_y=0$
$v_0t\cos\alpha\cdot v_0\cos\alpha+(v_0t\sin\alpha-\frac12gt^2)(v_0\sin\alpha-gt)=\\ =v_0^2t-v_0gt^2\sin\alpha-\frac12v_0gt^2\sin\alpha+\frac12g^2t^3=\\ =t\left(v_0^2-\frac32v_0gt\sin\alpha+\frac12g^2t^2\right)=0$
Вариант с $t=0$ нам не очень интересен, но зато интересны корни квадратного уравнения $t^2-\left(3\dfrac{v_0}{g}\sin\alpha\right) t+2\dfrac{v_0^2}{g^2}=0.$
$\boxed{t_\pm=\dfrac{v_0}{2g}\left(3 \sin\alpha\pm\sqrt{9\sin^2\alpha-8}\right)}$
Если посчитать, там получается что-то типа 21 и 38 секунд соответственно. А, учитывая, что время полета составляет $T=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}=39$ секунд, оба корня подходят.

P.S. Кстати, нетрудно заметить, что для существования решений нужно, чтобы корень в ответе существовал: 
$\alpha \geq \arcsin\left(\dfrac{2\sqrt2}{3}\right)$