Question

Зависимость пройденного телом пути sот времени t выражается уравнением s = at - bt2 + ct3 (a= 2 м/с, в = 3 м/с2, с = 4 м/с3). запишите выражения для скорости и ускорения. определите для момента времени t = 2 с после начала движения 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение.

Answer 1

Условимся, что рассматриваем прямолинейное движение.
Обратимся к определениям:

1. Мгновенная скорость определяется как производна от координаты по времени $v = \frac{ds}{dt}$
2. Ускорение определяется как производная от скорости по времени или же, что тоже самое, вторая производная от координаты по времени $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$

Правила дифференцирования следующие: 
1. $\frac{d}{dt} (aX+bY) = a \frac{dX}{dt} + b \frac{dY}{dt}$
Здесь X и Y - величины зависящие от времени. a и b - постоянные числа.
2. $\frac{d}{dt} (t^n) = nt^{n-1}$
3. Производная от константы равна нулю.

Найдём скорость:
$v = A - 2Bt + 3Ct^2$
Найдём ускорение:
$a = -2B + 6Ct$

При t = 2: 
s(2) = 2*2 - 3*4 + 4*8 = 4 -12 +32 = 24 м // это координата, а не путь
v(2) = 2 - 2*3*2 +3*4*4 = 2 - 12 + 48 = 38 м/с
a(2) = -2*3 +6*4*2 = -6 +48 = 42 м/с²

Что касается пройденного пути.
v(0) = 2 м/с
Уравнение v = 2 -6t +12t² описывает параболу. Вершина параболы при t = 1\4. Скорость при этом равна v = 5/4 > 0.

Т.е. скорость положительна при любом значении времени и тело не меняло направление движения.

Следовательно значение координаты s(2) совпадает с пройденным путём.

Замечание:
Всегда следует различать координату тела и пройденный им путь.
Пример: $s = Asin( 2\pi t)$
Какой путь тело пройдёт за t = 0.5 или t = 1?
При t = 0.5 s = sin(π) = 0. Тем не менее оно путь 2A (отклонилось на A и вернулось обратно).