Question

Горизонтальный, закрытый с обоих концов цилиндр разделен двумя закрепленными поршнями на три секции. давление и обьем газа в каждой секции соответственно равны 0.20 мпа и 36 см^3, 60.0 кпа и 60.0 см^3, 50.0 кпа и 104 см^3. определить давления и обьем газа в каждой секции после освобождения поршней. изменения температуры не учитывать.

Answer 1

Обозначим:
V1 = 36 см³ и P1 = 200 кПа – начальные объём и давление в 1-ой секции ;
V2 = 60 см³ и P2 = 60 кПа – начальные объём и давление во 2-ой секции ;
V3 = 104 см³ и P3 = 50 кПа – начальные объём и давление в 3-ей секции ;

V1к, V2к и V3к – конечные объёмы в каждой секции ;
Pк – конечное давление, уравновешенное во всех секциях ;

В каждой секции начальное и конечное состояния лежат на общей для всех изотерме, на этом основании можно составить 3 уравнения:
Pк V1к = P1 V1 ;
Pк V2к = P2 V2 ;
Pк V3к = P3 V3 ;

Выразим из этих уравнений все кончные объёмы:
V1к = V1 P1/Pк ;
V2к = V2 P2/Pк ;
V3к = V3 P3/Pк ;

Сумма всех конечных объёмов равна сумме начальных объёмов:
V1к + V2к + V3к = V1 + V2 + V3 ;
V1 P1/Pк + V2 P2/Pк + V3 P3/Pк = V1 + V2 + V3 ;
( V1 P1 + V2 P2 + V3 P3 ) / Pк = V1 + V2 + V3 ;

Откуда найдём конечное давление:
Pк = ( V1 P1 + V2 P2 + V3 P3 ) / ( V1 + V2 + V3 ) ;
Pк ≈ ( 36*200 + 60*60 + 104*50 ) / ( 36 + 60 + 104 ) = 160 / 2 = 80 кПа .

А отсюда уже легко найти и конечные объёмы секций:
V1к = V1 P1/Pк = V1 P1 ( V1 + V2 + V3 ) / ( V1 P1 + V2 P2 + V3 P3 ) ;
V1к = ( V1 + V2 + V3 ) / ( 1 + ( V2 P2 + V3 P3 ) / ( V1 P1 ) ) ;
V1к ≈ 200 / ( 1 + ( 60*60 + 104*50 ) / ( 36*200 ) ) = 90 см³ ;

аналогичо: V2к = ( V1 + V2 + V3 ) / ( 1 + ( V1 P1 + V3 P3 ) / ( V2 P2 ) ) ;
V2к ≈ 200 / ( 1 + ( 36*200 + 104*50 ) / ( 60*60 ) ) = 45 см³ ;

и: V3к = ( V1 + V2 + V3 ) / ( 1 + ( V1 P1 + V2 P2 ) / ( V3 P3 ) ) ;
V3к ≈ 200 / ( 1 + ( 36*200 + 60*60 ) / ( 104*50 ) ) = 65 см³ ;

Заметим, что: V1к + V2к + V3к = 200 см³ = V1 + V2 + V3 , как это очевидно, и должно быть, так что простую проверку решение легко проходит.