Question

Получить дифференциальное уравнение, решением которого является функция y(x,t) = aexp(−γx) cos(wt − kx). какой смысл имеет коэффициент γ ?

Answer 1

Получим.

$y(x,t) = A\exp(-\gamma x) \cos(\omega t-kx)\\\\ 1)\quad\partial y/\partial x = A[-\gamma\cos(\omega t-kx)+k\sin(\omega t-kx)]\exp(-\gamma x) \\ 2)\quad\partial^2 y/\partial x^2 = \\ \quad=A[\gamma^2\cos(\omega t-kx)-2\gamma k\sin(\omega t-kx)-k^2\cos(\omega t-kx)]\exp(-\gamma x)\\ 3)\partial y/\partial t = -\omega A\sin(\omega t-kx)\exp(-\gamma x)\\ 4)\partial^2y/\partial t^2 = -\omega^2A\cos(\omega t-kx)\exp(-\gamma x)$

Подберем коэффициенты, чтобы сумма производных была 0.

$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}-\frac{k^2}{\omega^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}+\gamma(\frac{\partial y}{\partial x}-\frac{k}{\omega}\frac{\partial y}{\partial t})=0$

Гамма - это коэффициент потерь