Question

1. в аттракционе "мертвая петля" небольшие кабины соединены друг с другом в сцепку длины l. сцепка съезжает с горки, далее движется по горизонтальной поверхности и затем попадает в вертикальную петлю радиуса r. какую наименьшую высоту должна иметь горка, чтобы сцепка могла благополучно проехать по этой петле? считать, что длина сцепки l> 2πr. трением пренебречь. 2. чему равен наибольший кпд теплового двигателя, работающего по циклическому процессу, который в осях (p,v) имеет вид прямоугольника, стороны которого параллельны осям p и v. рабочее тело одноатомный газ.

Answer 1

1. Пусть вся сцепка уже полностью заняла мёртвую петлю, поскольку потенциальная энергия не меняется, то все кабинки движутся с одной и той же скоростью по одному и тому же радиусу, а значит, имеют одинаковое центростремительное ускорение. Кабинки, находящиеся ниже центра петли вообще никак не могут упасть, поскольку опираются на рельсы, а вот кабинки, находящиеся выше центра мёртвой петли упасть в принципе могут. Найдём условие безотрывного движения отдельных кабинок. Рассмотрим только кабинки, находящиеся выше центра мёртвой петли, отстоящие от него на угол    $\varphi .$    Поперечная к петле сила, действующая на кабинку, складывается из силы нормальной реакции и тяжести:

$ma_n = N + mg \sin{ \varphi } \ ;$

$a_n - g \sin{ \varphi } = \frac{N}{m} \geq 0 \ ;$

$a_n \geq g \sin{ \varphi } \ ;$

$\varphi \leq arcsin{ {a_n}{g} } \ ;$

Т.е. при углах, меньше некоторого предельного уровня – отрыва не происходит. А значит, если отрыв не происходит при угле    $\varphi \approx 90^o ,$    т.е. в самой верхней точке, то отрыв не произойдёт ни в одной точке.

А если сцепка ещё не полностью заехала на петлю (или уже частично съехала), то тогда её потенциальная энергия не максимальна, а значит, кинетическая энергия больше минимальной, а скорость в любой точке больше, чем скорость полностью заехавшей сцепки. Так что если мы найдём условие безотрывного движения полностью заехавшей сцепки, то тогда и частично находящаяся на петле сцепка тоже гарантированно будет двигаться без отрыва:

Если сцепка заехала на петлю полностью, то масса, находящаяся на петле выразится, как:

$m = \frac{ 2 \pi R }{L} M \ ,$    где    $M$    – масса всей сцепки.

Из симметрии ясно, что средняя высота подъёма полностью занявшей петлю сцепки, равна    $R \ ,$    а значит, потенциальная энергия возрастёт по сравнению с горизонтальным участком на:

$U_o = mgR = 2 \pi M g \frac{ R^2 }{L} \ ;$

В то же время, когда сцепка находилась на горке, её потенциальная энергия была равна:

$U_h = M g h \ ;$

Кинетическая энергия сцепки, полностью занявшей петлю, будет:

$W_o = U_h - U_o = Mgh - 2 \pi M g \frac{ R^2 }{L} = \frac{Mv^2}{2} \ ;$

$gh - 2 \pi g \frac{ R^2 }{L} = \frac{v^2}{2} \ ;$

С другой стороны центростремительное ускорение в верхней точке:

$ma_n = mg + N \ ;$

$a_n - g = \frac{N}{m} \geq 0 \ ;$

$a_n \geq g \ ;$

$\frac{v^2}{R} \geq g \ ;$

$\frac{v^2}{2} \geq \frac{Rg}{2} \ ;$

А значит:

$gh - 2 \pi g \frac{ R^2 }{L} = \frac{v^2}{2} \geq \frac{Rg}{2} \ ;$

$h \geq \frac{R}{2} + 2 \pi \frac{ R^2 }{L} \ ;$

ОТВЕТ:    $h_{min} = R ( \frac{1}{2} + 2 \pi \frac{R}{L} ) \ ;$

2. Обозначим минимальный объём как:    $V \ ,$

а максимальное давление, как:    $p \ ,$

а их изменения, как:    $\Delta V$    и    $\Delta p \ ,$

Нагревание потребуется только на изохоре при минимальном объёме, и на изобаре при максимальном давлении. Итого, на нагревание уйдёт:

$Q = C_V \cdot \nu \Delta T_V + C_P \cdot \nu \Delta T_p = \frac{3}{2} V \Delta p + \frac{5}{2} p \Delta V \ ;$

Работа, вырабатываемая в цикле:

$A = \Delta p \Delta V \ ;$

КПД цикла:

$\eta = \frac{A}{Q} = \frac{ \Delta p \Delta V }{ \frac{3}{2} V \Delta p + \frac{5}{2} p \Delta V } = 1/( \frac{3V}{ 2 \Delta V } + \frac{5p}{ 2 \Delta p } ) \ ;$

Для максимизации КПД, представляющего в данном случае дробь с числителем 1, нужно минимизировать знаменатель, т.е. каждое из его слагаемых. Первое слагаемое может стремиться к нулю, когда минимальное давление стремится к нулю. Второе слагаемое тем меньше, чем ближе разность давлений к максимальному давлению. А стало быть:

$\eta_{max} = \frac{ 1 }{ 5/2 } = 40 \% \ .$