Question

Нужна напишите развернутое труба расположена горизонтально. в широкой части трубы диаметром d расположен поршень и на него действует постоянная сила f. узкая часть трубы имеет диаметр d, и из нее вытекает струя воды. нужно найти скорость перемещения поршня. не учитывая силу трения.

Answer 1

Рассмотрим движение двух столбиков воды массой m. за счет работы внешней силы F их скорость с нуля изменяется до v (в трубе диаметра D) и u (в трубе диаметра d)

за время Δt сила F совершает работу A = F v Δt. эта работа идет на приращение кинетической энергии столбиков воды:

F v Δt = (m/2) * (u² - v²)

разумеется, мы рассматриваем ламинарное стационарное течение идеальной жидкости (то есть, жидкость несжимаемая и не вязкая). поэтому изменение объема столбика в части трубы диаметра D равно изменению объема столбика воды в части трубы диаметра d: S1 v Δt = S2 u Δt или v (π D²)/4 = u (π d²)/4, то есть

u = v (D/d)² (полученное выше равенство также называется теоремой о неразрывности струи)

масса столбика воды: m = p V = p (π D²)/4 * v Δt

объединяя все полученные выше выражения, получаем:

$v= \sqrt{ \frac{8F}{p \pi D^{2}( (\frac{D}{d}) ^{4}-1) } }$

помимо прочего, можно решить несколько проще через закон Бернулли:

P1 + (p v²)/2 = P2 + (p u²)/2, где

P1 = (4 F)/(π D²) - давление, оказываемое на столбик воды поршнем
(p v²)/2 и (p u²)/2 - плотности кинетических энергий
P2 = 0, т.к. в трубе диаметра d на столбик воды давление не оказывается. считаем, что атмосферного давления нет

из уравнения Бернулли, используя теорему о неразрывности струи, нетрудно получить тот же ответ